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微积分预备:解三角方程和不等式

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例子问题

例子问题10:三角恒等式

用三角恒等式解下式 $\theta$ ：

$tan^2\theta + sec^2\theta = 1$

可能的答案:

$\theta = \pi/3+ n$

$\theta = \pi/4+ n\pi$

$\theta = \pi/3+ n$

$\theta= n\pi$

$\theta = \pi/2+ n\pi$

正确答案:

$\theta= n\pi$

解释：

用三角恒等式把sec转换成tan:

$tan^2\theta + sec^2\theta = tan^2\theta + (tan^2 \theta + 1) = 2tan^2\theta + 1 = 1$

因此,

$2tan^2\theta = 0$

所以我们有 $\tan \theta = 0$ ,使 $\theta= n \pi$

因此解是 $\theta = n \pi$ n是任意整数。

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例子问题1:解三角方程和不等式

下列哪一项不是解决方案 $\small 2sin^2(x)-3sin(x)=-1$ 为 $\small 0\leq x<2\pi$

可能的答案:

$\small \frac{\pi}{2}$

$\small \frac{11\pi}{6}$

$\small \frac{\pi}{6}$

$\small \frac{5\pi}{6}$

正确答案:

$\small \frac{11\pi}{6}$

解释：

我们先把方程右边设为0。

$\small 2sin^2(x)-3sin(x)+1=0$

用下面的代换法可能更容易分解这个方程。

$\small w=sin(x)$

这将得到以下结果

$\small 2w^2-3w+1=0$

这可以被分解如下

$\small \small (2w-1)(w-1)=0$

因此

$\small w=\frac{1}{2}\;or\;w=1$

替换我们的代换就得到

$\small sin(x)=\frac{1}{2}\;or\;sin(x)=1$

在我们指定的范围内，我们在两个方程之间得到三个答案。

$\small sin(x)=\frac{1}{2}$ 当 $\small x=\frac{\pi}{6}\;or\; \frac{5\pi}{6}$

$\small sin(x)=1$ 当 $\small x=\frac{\pi}{2}$

因此，唯一不正确的选择是 $\small \frac{11\pi}{6}$

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例子问题2:解三角方程和不等式

求一个可能的值．

tan(5x)+17=-55

可能的答案:

$-446.02^{\circ}$

$0^{\circ}$

$446.02^{\circ}$

$17.84^{\circ}$

$-17.84^{\circ}$

正确答案:

$-17.84^{\circ}$

解释：

首先分离出方程的正切边:

tan(5x)+17=-55

tan(5x)=-72

接下来，对两边求正切:

$5x=tan^{-1} (-72)$

除以5得到最终答案:

$x=\frac{tan^{-1} (-72)}{5}=-17.84^{\circ}$

报告错误

例子问题3:解三角方程和不等式

利用三角恒等式求角度值。

$\tan^2\theta\sin^2\theta+\tan^2\theta\cos^2\theta+1=13$

可能的答案:

$\theta\approx53.565$

$\theta\approx85.601$

$\theta\approx74.499$

$\theta\approx73.898$

正确答案:

$\theta\approx73.898$

解释：

有两种方法可以解决这个问题。第一个涉及两个三角恒等式:

$\tan^2\theta\sin^2\theta+\tan^2\theta\cos^2\theta+1=13\\ \implies\tan^2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+1=13\\ \implies\tan^2\theta+1=13\implies\sec^2\theta=13\\ \implies\sec\theta=\sqrt13\implies\cos\theta=\frac{\sqrt13}{13}\\ \implies \theta=\cos^{-1}\frac{\sqrt13}{13}}\approx73.898}$

第二种方法只允许我们使用第一个三角恒等式:

$\tan^2\theta\sin^2\theta+\tan^2\theta\cos^2\theta+1=13\\ \implies\tan^2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+1=13\\ \implies\tan^2\theta+1=13\implies\tan^2\theta=12\\ \implies\tan\theta=2\sqrt3\implies\theta=\tan^{-1}2\sqrt3\approx73.898}$

报告错误

问题4:解三角方程和不等式

利用三角恒等式求解角度值的方程。

$4\cos^2\theta+\cos{2\theta}+\sin^2\theta=3$

可能的答案:

$\theta\approx39.232$

$\theta\approx78.463$

$\theta=\frac{\pi}{2}$

$\theta=\frac{\pi}{6}$

正确答案:

$\theta\approx39.232$

解释：

解决这个问题最简单的方法是用余弦的倍角恒等式。 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

将该值代入原方程得到:

$4\cos^2\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta+\sin^2\theta=3\\ \implies5\cos^2\theta=3\implies\cos^2\theta=\frac{3}{5}\\ \cos\theta=\frac{\sqrt15}{5}\implies\theta=\cos^{-1}\frac{\sqrt15}{5}}\approx39.232$

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例5:解三角方程和不等式

根据三角恒等式， 1+cot^2(x)=?

可能的答案:

$\frac{1}{tan(x)}$

tan(x)

$\frac{sin(x)}{cos(x)}$

csc^2(x)

正确答案:

csc^2(x)

解释：

三角恒等式 1+cot^2(x)=csc^2(x) ，是一个重要的恒等式，需要记住。

其他一些重要的身份是:

$\frac{sin(x)}{cos(x)}=tan(x)$

$cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$

sin^2(x)+cos^2(x)=1

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