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微积分预备:变化率问题

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例子问题

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例子问题1:变化率问题

求函数的平均变化率 y=2e^x 在区间内 x=0 来 x=2 ．

可能的答案:

e^2

1-e^2

e(e-1)

e^2-1

正确答案:

e^2-1

解释：

平均变化率可以用 $\frac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ．

在这里, f(2)=2e^2 , f(0)=2e^0=2(1)=2 ．

现在,我们有 $\frac{2e^2-2}{2-0}=\frac{2e^2-2}{2}=e^2-1$ ．

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例子问题2:变化率问题

函数定义为 f(x)=-ln(x+1) ．

求函数的平均变化率 [0,4] ．

可能的答案:

$ln\frac{-5}{4}$

$-\frac{ln5}{4}$

$-ln\frac{5}{4}$

$\frac{ln5}{4}$

正确答案:

$-\frac{ln5}{4}$

解释：

我们用平均变化率公式，得到 $\frac{f(4)-f(0)}{4-0}$ ．

现在 f(4)=-ln(4+1)=-ln5 , f(0)=-ln(0+1)=-ln1=0 ．

因此，答案是 $\frac{-ln5-0}{4-0}=-\frac{ln5}{4}$ ．

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示例问题3:变化率问题

假设我们可以建立利润模型，以美元计价带有等式的项 P(x)=3x^2-4x+2 ．

求利润的平均变化率 x=1 来 x=4 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们需要把平均变化率的公式应用到利润方程中。因此，我们发现平均变化率为 $\frac{P(4)-P(1)}{4-1}$ ．

自 P(4)=3(4)^2-4(4)+2=3(16)-16+2=48-16+2=34 , P(1)=3(1)^2-4(1)+2=3(1)-4+2=3-4+2=1 ，我们发现平均变化率为 $\frac{34-1}{4-1}=\frac{33}{3}=11$ ．

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示例问题4:变化率问题

我们的利润,(以数千美元计)通过 P(x)=2x^2-6x+25 ．

求生产从4项增加到5项时利润的平均变化率。

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

正确答案:

解释：

自 P(5)=2(5)^2-6(5)+25 ，我们看到这个等于 2(25)-30+25=50-30+25=20+25=45 ．现在让我们检查 P(4) ． P(4)=2(4)^2-6(4)+25=2(16)-24+25 它简化了．

因此平均变化率公式给了我们 $\frac{f(5)-f(4)}{5-4}=\frac{45-33}{5-4}=\frac{12}{1}=12$ ．

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示例问题5:变化率问题

假设一个顾客购买根据销售价格为基础的狗粮,在那里 D(p)=15-p^2+p ,在那里 $1\leq p\leq3$ ．

求出当价格从2美元增加到3美元时，需求的平均变化率。

可能的答案:

正确答案:

解释：

D(3)=15-9+3=6+3=9

D(2)=15-4+2=13

因此，平均变化率公式产生 $\frac{9-13}{3-2}=\frac{-4}{1}=-4$ ．

这意味着需求随着价格的上升而下降。

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示例问题6:变化率问题

一个大学新生在一个储蓄账户上投资100美元，连续支付5%的复利。因此,数量保存后年可以用 $A(t)=100e^{0.05t}$ ．

找出两者之间的账户金额的平均变化率 t=0 而且 t=3 即学生预计毕业的年份。

可能的答案:

$\$5.39$

$\$38.39$

$-\$5.39$

$\$38.73$

正确答案:

$\$5.39$

解释：

$A(3)=100e^{0.05*3}=100e^{0.15}\approx \$116.18$ ．

$A(0)=100e^{0.05*0}=100e^{0}=\$100.00$ ．

因此，平均变化率公式给我们 $\frac{A(3)-A(0)}{3-0}=\frac{\$116.18-\$100.00}{3-0}=\frac{\$16.18}{3}\approx \$5.39$ ．

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示例问题7:变化率问题

的平均变化率 $y=\sqrt{x-3}$ 之间的 x=4 而且 x=7 ．

可能的答案:

$-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{3}$

解释：

通过这个公式可以找到解 $\frac{f(7)-f(4)}{7-4}$ ．

在这里 f(7) 给了我们 $\sqrt{7-3}=\sqrt{4}=2$ , $f(4)=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1$ ．

因此，我们发现平均变化率为 $\frac{2-1}{7-4}=\frac{1}{3}$ ．

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例子问题1:变化率问题

的平均变化率 y=2x^2+3x 在区间内 x=1 来 x=3 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

平均变化率将是 $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}$ ．

f(3)=2(3)^2+3(3)=2(9)+9=18+9=27 ．

f(1)=2(1)^2+3(1)=2(1)+3=2+3=5 ．

这给了我们 $\frac{27-5}{3-1}=\frac{22}{2}=11$ ．

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示例问题9:变化率问题

的平均变化率 y=-x^2+3x-6 在区间内 x=-2 来 x=0 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

平均变化率将是 $\frac{f(0)-f(-2)}{0-(-2)}$ ．

现在 f(0)=-(0)^2+3(0)-6=-0+0-6=-6 ．

我们也知道 f(-2)=-(-2)^2+3(-2)-6=-4-6-6=-16 ．

所以我们有 $\frac{-6-(-16)}{0-(-2)}=\frac{-6+16}{0+2}=\frac{10}{2}=5$ ．

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例子问题1:变化率问题

为什么我们可以做一个有根据的猜测平均变化率 f(x)=x^2 之间, x=-1 而且 x=1 将?

可能的答案:

我们知道 f(x) 在区间上是对称的。

我们知道 f(x) 在区间上是水平的。

我们知道 f(x) 在这个区间上垂直。

我们知道 f(x) 在这个区间上是奇的。

我们知道 f(x) 是一个多项式。

正确答案:

我们知道 f(x) 在区间上是对称的。

解释：

因为 f(x) 在y轴上是对称的，它在区间上的增加和减少是一样的来．因此，该区间的平均变化率为．

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