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微积分预备:找到一个不连续点

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例子问题

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例子问题1:找到一个不连续点

函数的空穴或垂直渐近线(如果有的话)是什么: $y=\frac{x^2-1}{x-1}$

可能的答案:

$\textup{There are no discontinuities.}$

$\textup{Hole at } x=1; \textup{ No vertical asymptotes.}$

$\textup{Hole at }x=1,-1$

$\textup{Hole at } x=-1; \textup{ No vertical asymptotes.}$

$\textup{Hole at }x=1; \textup{Vertical asymptote at } x=-1$

正确答案:

$\textup{Hole at } x=1; \textup{ No vertical asymptotes.}$

解释：

将函数分子因式分解:

$y=\frac{x^2-1}{x-1}$

$y=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1$

可移动不连续面为 x-1 因为这一项可以从函数中消去。没有垂直渐近线。

将可移动不连续点设为零，求出孔的位置。

x-1=0

x=1

该孔位于: x=1

例子问题2:找到一个不连续点

对于下面的函数， $y=\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}$ ，如果可能的话，找出所有的不连续点。

可能的答案:

$\textup{Asymptote at: } x=3 \textup{; Hole at: x=-3}$

$\textup{Asymptote at: }x=\pm3$

$\textup{Hole at: }x=\pm3$

$\textup{Asymptote at: } x=-3 \textup{; Hole at: x=3}$

$\textup{There are no discontinuities.}$

正确答案:

$\textup{Asymptote at: } x=-3 \textup{; Hole at: x=3}$

解释：

重写函数 $y=\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}$ 因式分解。

$y=\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{(x-3)(x-3)}{(x+3)(x-3)}$

自 x-3 期限可以取消，有一个可移动的不连续，或洞，在 x=3 ．

剩下的分母 x+3 表示垂直渐近线 x=-3 ．

例子问题3:找到一个不连续点

如果可能，找出不连续性的类型(如果有):

$y= \frac{6x-9}{2x-3}$

可能的答案:

$\textup{Asymptote at }x=\frac{3}{2}$

$\textup{There are no discontinuities.}$

$\textup{Hole at }x=-\frac{3}{2}$

$\textup{Hole at }x=\frac{3}{2}$

$\textup{Hole and asymptote at }x=\frac{3}{2}$

正确答案:

$\textup{Hole at }x=\frac{3}{2}$

解释：

通过看分母 $y= \frac{6x-9}{2x-3}$ ，就会出现不连续性。

由于分母不能为零，设置分母不等于零，并求解的值．

$2x-3\neq 0$

$2x\neq 3$

$x\neq\frac{3}{2}$

有一个不连续点 $x=\frac{3}{2}$ ．

要确定什么类型的不连续，检查的分子和分母是否有公因式 $y= \frac{6x-9}{2x-3}$ ．

既然公因式存在，就化简函数。

$y= \frac{6x-9}{2x-3}=\frac{(3)(2x-3)}{2x-3}=3$

自 2x-3 期限可以取消，有一个可移动的不连续，或洞，在 $x=\frac{3}{2}$ ．

例子问题1:找到一个不连续点

求下列函数的不连续点:

$m(x)=\frac{x^2+4x-5}{x^2+7x+10}$

可能的答案:

这个函数没有不连续点。

(0, 4)

(-5, 2)

(5, 1)

正确答案:

(-5, 2)

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$m(x)=\frac{x^2+4x-5}{x^2+7x+10}=\frac{(x+5)(x-1)}{(x+5)(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 x=-5 分子分母都是0，这里有一个不连续点。要找到值，插入最后的简化方程。

$\frac{-5-1}{-5+2}=2$

(-5, 2) 是不连续点。

例子问题1:找到一个不连续点

求下列函数的不连续点:

$p(x)=\frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-9x+20}$

可能的答案:

(2, -3)

(-1, 0)

(5, 30)

这个函数没有不连续点。

正确答案:

(5, 30)

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$p(x)=\frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-9x+20}=\frac{x(x^2-4x-5)}{(x-5)(x-4)}=\frac{x(x-5)(x+1)}{(x-5)(x-4)}=\frac{x(x+1)}{x-4}$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 x=5 分子分母都是0，这里有一个不连续点。要找到值，插入最后的简化方程。

$\frac{5(5+1)}{5-4}=30$

(5, 30) 是不连续点。

例子问题6:找到一个不连续点

求下列函数的不连续点:

$r(x)=\frac{16-4x^2}{x^2-4}$

可能的答案:

(-4, -2)

(-2, -4)

这个函数没有不连续。

(2, 4)

正确答案:

(-2, -4)

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$r(x)=\frac{16-4x^2}{x^2-4}=\frac{-4(x^2-4)}{(x+2)(x-2)}=\frac{-4(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=-4$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 $x=\pm2$ 分子分母都是0，这里有一个不连续点。因为最后的函数是 r(x)=-4 ， (2, -4) 而且 (-2, -4) 是不连续点。

例子问题2:找到一个不连续点

求下列函数的不连续点:

$s(x)=\frac{180-5x^2}{x^2-36}$

可能的答案:

这个函数没有不连续点。

(6, 5)

(-5, -6)

(-6, -5)

正确答案:

(-6, -5)

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$s(x)=\frac{180-5x^2}{x^2-36}=\frac{-5(x^2-36)}{(x-6)(x+6)}=\frac{-5(x-6)(x+6)}{(x-6)(x+6)}$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 $x=\pm 6$ 分子分母都是0，这里有一个不连续点。因为最后的函数是 s(x)=-5 ， (6, -5) 而且 (-6, -5) 是不连续点。

例子问题1:找到一个不连续点

在下列函数中找到一个不连续点:

$f(x)=\frac{x^2+x-12}{x^2+2x-8}$

可能的答案:

这个函数没有不连续点。

$\left(-4, \frac{7}{6}\right)$

(0, 4)

$\left(-2, \frac{5}{7}\right)$

正确答案:

$\left(-4, \frac{7}{6}\right)$

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$f(x)=\frac{x^2+x-12}{x^2+2x-8}=\frac{(x+4)(x-3)}{(x+4)(x-2)}=\frac{(x-3)}{(x-2)}$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 x=-4 分子分母都是0，这里有一个不连续点。要找到值，插入最后的简化方程。

$\frac{-4-3}{-4-2}=\frac{7}{6}$

$\left(-4, \frac{7}{6}\right)$ 是不连续点。

问题9:找到一个不连续点

求下列函数的不连续点:

$g(x)=\frac{x^2-1}{x^2+8x+7}$

可能的答案:

没有间断点。

$\left(1, \frac{1}{3}\right)$

(2, 4)

$\left(-1, -\frac{1}{3}\right)$

正确答案:

$\left(-1, -\frac{1}{3}\right)$

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$g(x)=\frac{x^2-1}{x^2+8x+7}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+7)}=\frac{x-1}{x+7}$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 x=-1 分子分母都是0，这里有一个不连续点。要找到值，插入最后的简化方程。

$\frac{-1-1}{-1+7}=-\frac{1}{3}$

$\left(-1, -\frac{1}{3}\right)$ 是不连续点。

例子问题10:找到一个不连续点

求下列函数的不连续点:

$h(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}$

可能的答案:

$\left(6, -\frac{2}{3}\right)$

这个函数没有不连续点。

$\left(5, \frac{1}{8}\right)$

$\left(3, \frac{1}{6}\right)$

正确答案:

$\left(3, \frac{1}{6}\right)$

解释：

首先分解函数的分子和分母。

$h(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-2}{x+3}$

当一个数字出现不连续点时分子分母都是0。

自 x=3 分子分母都是0，这里有一个不连续点。要找到值，插入最后的简化方程。

$\frac{3-2}{3+3}=\frac{1}{6}$

$\left(3, \frac{1}{6}\right)$ 是不连续点。

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