现在就打电话安排辅导:

(888) 888 - 0446

微积分预备:用DeMoivre定理求复数的幂

学习微积分预备课程的概念、示例问题和解释

创建帐户制作测试和抽认卡

所有微积分基础资源

12诊断测试 380练习测试今日问题抽认卡从概念中学习

例子问题

例子问题1:复数的幂与根

求所描述的复数的大小 {}(1+3i) ．

可能的答案:

$\sqrt{10}$

${}\sqrt{2}$

$\sqrt{4}$

$\sqrt{3}$

$\sqrt8$

正确答案:

$\sqrt{10}$

解释：

为了求一个复数的大小，我们使用以下公式:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ，

复数的形式在哪里 (a+bi) ．

因此,

$|z|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$

报告错误

例子问题1:用德莫弗定理求复数的幂

求的大小:

${}(1+3i)^{7}$ ，其中复数满足 ${}i^{2}=-1$ ．

可能的答案:

${}10^{14}\sqrt{10}$

${}10^2\sqrt{10}$

${}10^3\sqrt{10}$

${}10\sqrt{10}$

${}10^7\sqrt{10}$

正确答案:

${}10^3\sqrt{10}$

解释：

注意，对于任意复数z，我们有:

${}|z^n|=|z|^n$ ．

让 {}z=1+i3 ．因此 ${}|z|=\sqrt{10}$

因此:

${}|z^{7}|=|z|^{7}=(\sqrt{10})^{7}=(\sqrt{10})^{6}(\sqrt{10})$

这就给出了结果。

报告错误

例子问题2:用德莫弗定理求复数的幂

的大小是多少 (2+3i)^2 ?

可能的答案:

$\sqrt13$

正确答案:

解释：

为了求一个复数的大小，我们使用下面的公式:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ,在那里 (a+bi) ．

因此我们得到，

$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ ．

现在来看看

$|z|^2=(\sqrt{13})^2$

z=13 ．

报告错误

例子问题1:复数的幂与根

简化

$\small (\cos x+i\sin x)^3$

可能的答案:

$\small \small \cos 3x+i\sin3x$

$\small \small \sin 3x+i\cos 3x$

$\small \small 3\cos x+3i\sin x$

$\small \small \cos 3x+i\sin x$

正确答案:

$\small \small \cos 3x+i\sin3x$

解释：

我们可以使用DeMoivre公式，它表示:

$z^n=r^n(\cos n\theta + i \sin n \theta)$

现在代入 $\small n=3$ 而且 r=1 我们得到了想要的结果。

$\small (\cos x+i\sin x)^n=(\cos nx+i\sin nx)$

$\cos 3x +i \sin 3x$

报告错误

例5:用德莫弗定理求复数的幂

$(3 \sqrt3 -3i) ^ 6$

可能的答案:

23,328 - 23,328 i

-46,656

15,625

23,328 + 23,328 i

46,656

正确答案:

-46,656

解释：

首先把这个点转换成极坐标形式:

$r = \sqrt{(3\sqrt3)^2 + (-3)^2 } = \sqrt{9 \cdot 3 + 9 } = \sqrt{36} = 6$

$\cos \theta = \frac{ 3\sqrt3}{6 } = \frac{\sqrt3}{2}$

$\theta = \cos ^{-1} (\frac{\sqrt3}{2} ) = \frac{ \pi }{6} \enspace \or \enspace \frac{ 11 \pi }{6}$

因为这个数的虚部是负的实部是正的，所以它在象限IV，所以角是 $\frac{ 11 \pi }{6}$

我们正在评估 $(6 \cos \frac{11 \pi }{6} + i \sin \frac{ 11 \pi }{6} ) ^ 6$

利用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中去。

$6^6 (\cos \frac{ 11 \pi }{6} \cdot 6 + i \sin \frac{ 11 \pi }{6} \cdot 6)$

$\frac{11 \pi }{6} \cdot 6 = 11 \pi$ 和哪个共端 $\pi$ 因为它是一个奇数乘法

$46,656(\cos \pi + i \sin \pi ) = 46,656 (-1 + 0i) = -46,656$

报告错误

例子问题6:用德莫弗定理求复数的幂

评估 $(2 -2 \sqrt3)^6$

可能的答案:

4,096i

4,096

-4,096

正确答案:

4,096

解释：

首先，把这个复数转换成极坐标形式:

$r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt3)^2 } = \sqrt{4 +12} = \sqrt{16} = 4$

$\sin \theta = \frac{ -2\sqrt3 }{4} = -\frac{\sqrt3}{2}$

$\theta = \sin ^{-1} (-\frac{\sqrt3}{2}) = \frac{4 \pi }{3} \enspace or \enspace \frac{ 5 \pi }{3}$

因为实部是正的虚部是负的，这在象限IV，所以角是 $\frac{5 \pi }{3}$

所以我们在计算 $(4(\cos \frac{5 \pi }{3} + i \sin \frac{5 \pi }{3} ) )^6$

利用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中去。

$4^6 (\cos \frac{ 5 \pi }{3} \cdot 6 + i \sin \frac{ 5 \pi }{3} \cdot 6 ) = 4,096 ( \cos 10 \pi + i \sin 10 \pi)$

$10 \pi$ 与因为它是偶数倍 $\pi$

$4,096( \cos 0 + i \sin 0 ) = 4,096 ( 1 + 0i) = 4,096$

报告错误

示例问题7:用德莫弗定理求复数的幂

评估 $(-3 + 3i ) ^{ 12}$

可能的答案:

$-17,006, 112 \sqrt2 + 17,006,112 \sqrt 2 i$

-34,012,224

$17,006,112 \sqrt2 + 17,006,112 \sqrt 2 i$

34,012,224

-531,441

正确答案:

-34,012,224

解释：

首先将复数转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{3^2 + (-3)^2 } = \sqrt{9+9} = \sqrt{2 \cdot 9 } = 3 \sqrt2$

$\sin \theta = \frac{3}{3 \sqrt2} = \frac{ 1}{\sqrt2}$

$\theta = \sin ^{-1 } (\frac{1}{\sqrt2}) = \frac{\pi}{4} \enspace or \enspace \frac{ 3 \pi }{4}$

因为实部是负的，虚部是正的，所以这个角应该在象限II，的确如此 $\frac{ 3 \pi }{4}$

我们正在评估 $(3\sqrt2 (\cos \frac{ 3 \pi }{4} + i \sin \frac{ 3 \pi }{4} ) ) ^ {12}$

利用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中去。

$(3\sqrt2)^{12 } (\cos \frac{ 3 \pi }{4} \cdot 12 + i \sin \frac{3 \pi }{4} \cdot 12 )$ 化简，取指数

$34,012,224 (\cos 9\pi + i \sin 9 \pi )$

$9\pi$ 与 $\pi$ 因为它是π的奇数倍

$34, 012, 224 ( \cos \pi + i \sin \pi ) = 34, 012, 224 ( -1 + 0i) = -34,012, 224$

报告错误

例子问题1:用德莫弗定理求复数的幂

使用DeMoivre定理求表达式的值 $(\sqrt3 - 3i ) ^ 6$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先把这个复数转换成极坐标形式:

$r = \sqrt{ (\sqrt3)^2 + 1^2 } = \sqrt{ 3 + 1 } = \sqrt4 = 2$

$\sin \theta = \frac{ 1}{ 2}$ 所以 $\theta = \frac{\pi }{6} \enspace or \enspace \frac{5 \pi }{6}$

因为这个数的实部和虚部都是正的，所以它在象限I，所以角是 $\frac{ \pi }{6}$

所以我们在计算 $(2(\cos \frac{ \pi }{6} + i \sin \frac{ \pi }{6} ))^3$

利用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中去。

$2^3 (\cos \frac{3\pi}{6} + i \sin \frac{ 3\pi }{6} ) = 8 ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{ \pi }{2} ) = 8(0 + i ) = 8i$

报告错误

问题9:用德莫弗定理求复数的幂

评估: (1-i)^8

可能的答案:

256

16i

128

正确答案:

解释：

首先，把这个复数转换成极坐标形式。

$r= \sqrt{ a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 +(-1)^2 }=\sqrt{2}$

$\sin \theta = \frac{-1}{\sqrt2}$

$\theta = \frac{5 \pi }{4} \enspace or \enspace \frac{7 \pi }{4}$

由于该点的实部为正，虚部为负，所以它位于象限IV，所以角为 $\frac{7\pi}{4}$ ．

这给了我们 $(\sqrt{2} ( \cos \frac{7 \pi }{4} + i \sin \frac{ 7 \pi }{4} )) ^ 8$

要计算，使用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中去。

$(\sqrt2 )^8 ( \cos \frac{ 7 \pi }{4} \cdot 8 + i \sin \frac{ 7 \pi }{4} \cdot 8 )$ 简化

$2 ^ 4 ( \cos 14 \pi + i \sin 14 \pi )$ ， $14 \pi$ 与因为它是偶数倍 $\pi$

$2^ 4 (\cos 0 + i \sin 0 ) = 16(1 + 0i) = 16$

报告错误

例子问题1:用德莫弗定理求复数的幂

(2 + 2i )^9

可能的答案:

512

11,585.238

8,192 + 8,192 i

11,585.238 i

正确答案:

8,192 + 8,192 i

解释：

首先，将复数转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{ 2^2 + 2^2 } = \sqrt{4 + 4 } = \sqrt{2 \cdot 4 } = 2 \sqrt 2$

$\sin \theta = \frac{ 2 }{ 2 \sqrt 2 } = \frac{ 1 }{ \sqrt2 }$

$\theta = \sin ^{-1 } (\frac{ 1}{ \sqrt 2 }) = \frac{ \pi }{4} \enspace or \enspace \frac{ 3 \pi }{4}$

因为实部和虚部都是正的，所以这个角在象限I $\frac{ \pi }{4}$

这意味着我们在求值

$(2 \sqrt2 (\cos \frac{ \pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} ))^ 9$

利用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中去。

$(2 \sqrt2 )^9 (\cos \frac{\pi }{4} \cdot 9 + i \sin \frac{ \pi }{4} \cdot 9 )$

首先,评估 $(2\sqrt2)^9$ ．我们可以把它分成 $2^9 \cdot (\sqrt2)^9$ 这相当于 $2^9 \cdot (\sqrt2)^8 \cdot \sqrt2 = 2^9 \cdot 2^4 \cdot \sqrt 2$

我们可以重新写中间的指数，因为 $\sqrt 2$ 等于 $2^{\frac{1}{2}}$ ］

这就涉及到 $8,192 \sqrt 2$

求sin和cos $\frac{\pi }{4} \cdot 9 = \frac{ 9 \pi }{4}$ 等价于在 $\frac{ \pi }{4}$ 自 $\frac{ 9 \pi }{4} - 2 \pi = \frac{9 \pi }{4 } - \frac{ 8 \pi }{4} = \frac{ \pi }{4}$

这意味着我们的表达式可以写成:

$8,192 \sqrt2 ( \cos \frac{\pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} ) = 8,192 \sqrt2 (\frac{1}{\sqrt2} + i \frac{ 1}{\sqrt2}) = 8,192 + 8,192i$

报告错误

查看微积分预备导师

玛丽塔
认证导师

内华达州立大学，教育学士，中等特殊教育项目中的个人教育。

查看微积分预备导师

Liban
认证导师

埃默里大学，数学/经济学理学学士。

查看微积分预备导师

Chandana
认证导师

科伦坡大学，数学学士。怀俄明大学，哲学博士，数学。

所有微积分基础资源

12诊断测试 380练习测试今日问题抽认卡从概念中学习

受欢迎的科目

休斯顿的生物导师，华盛顿特区的SSAT导师，凤凰城的SAT导师，旧金山湾区的法语教师，洛杉矶的法语教师，休斯顿的物理导师，休斯顿英语家教，纽约市的MCAT导师，西雅图的MCAT家教，费城的阅读导师

常用备考

MCAT考试准备在芝加哥，西雅图MCAT考试准备，SSAT考试准备在华盛顿特区，在达拉斯沃斯堡的SAT考试准备，在丹佛准备GMAT考试，在波士顿准备GRE考试，MCAT考试准备在迈阿密，在西雅图准备SSAT考试，在圣地亚哥的ACT考试准备，在凤凰城准备LSAT考试

DMCA的抱怨

如果您认为通过本网站提供的内容(定义见我们的服务条款)侵犯了您的一项或多项版权，请通过向下列指定代理提供包含以下信息的书面通知(“侵权通知”)通知我们。如果校队导师对侵权通知采取行动，它将通过该方提供给校队导师的最新电子邮件地址(如果有的话)，善意地尝试联系提供此类内容的一方。

您的侵权通知可能会转发给提供内容的一方或ChillingEffects.org等第三方。

请注意，如果您严重歪曲某产品或活动侵犯了您的版权，您将承担损害赔偿(包括诉讼费和律师费)。因此，如果您不确定网站上的内容或网站链接的内容侵犯了您的版权，您应该首先考虑联系律师。

请按照以下步骤提交通知:

你必须包括以下内容:

版权所有人或授权代表其行事的人的实物或电子签名;声称被侵犯的版权的证明;对您声称侵犯您版权的内容的性质和确切位置的描述，足够详细，以允许大学导师找到并积极识别该内容;例如，我们需要一个特定问题的链接(不仅仅是问题的名称)，其中包含内容和问题的具体部分的描述-图像，链接，文本等-您的投诉指的是;你的姓名、地址、电话号码及电邮地址;您的声明:(A)您真诚地相信，您声称侵犯您版权的内容的使用未经法律或版权所有者或该所有者的代理人授权;(b)您的侵权通知中包含的所有信息都是准确的，并且(c)在伪证罪的处罚下，您是版权所有人或被授权代表他们行事的人。

将投诉发送给我们的指定代理人:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
汉利路101号，300室
圣路易斯，密苏里州63105

或者填写下面的表格:

不填写这个字段吗

联系信息

＊法定全称

公司名称

＊电话号码

＊电子邮件地址

地址

＊Address1

Address2

＊城市

＊状态

＊Zipcode

＊国家

投诉细节

您所代表的版权方(如果不是您本人)

＊版权作品的URL(您的原始材料所在的位置)

＊请描述受版权保护的作品，以便于识别

我是所有权人，或者是被授权代表被侵犯的专有权的所有者行事的代理人。

这个通知是准确的。

我承认，使用此程序提出虚假或恶意侵犯版权的指控可能会产生不利的法律后果。

＊签名(您的数字签名具有法律约束力)

高中

研究生院

学习

搜索50+测试

数学辅导

科学辅导

外语

小学辅导

其他

搜索350多个主题

微积分预备:用DeMoivre定理求复数的幂

学习微积分预备课程的概念、示例问题和解释

所有微积分基础资源

例子问题

例子问题1:复数的幂与根

例子问题1:用德莫弗定理求复数的幂

例子问题2:用德莫弗定理求复数的幂

例子问题1:复数的幂与根

例5:用德莫弗定理求复数的幂

例子问题6:用德莫弗定理求复数的幂

示例问题7:用德莫弗定理求复数的幂

例子问题1:用德莫弗定理求复数的幂

问题9:用德莫弗定理求复数的幂

例子问题1:用德莫弗定理求复数的幂

所有微积分基础资源

报告与此问题有关的问题

DMCA的抱怨

联系信息

地址

投诉细节

找到最好的导师

电子邮件地址:
你的名字:
反馈: