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微积分预备:确定抛物线方程并绘制抛物线图

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例子问题

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例子问题1:确定抛物线方程并绘制抛物线图

如果y轴是垂直的，x轴是水平的，确定下面抛物线的开放方向:

x+y^2-6y=13

可能的答案:

正确的

左

沿着 x=y

向上

下来

正确答案:

左

解释：

为了确定抛物线的开放方向，我们必须首先将方程化为标准形式，它可以用以下两种方式之一表示:

y=ax^2+bx+c

x=ay^2+by+c

如果方程是如上面第一个，抛物线打开如果是正的，如果是负的。如果方程是在上面的第二个例子中，抛物线是在是正的，左if是负的。重新排列我们的方程，我们得到:

x=-y^2+6y+13

我们可以看到我们的方程是，这意味着抛物线要么向左开，要么向右开。第一项的符号是负的，所以抛物线向左开口。

例子问题2:确定抛物线方程并绘制抛物线图

抛物线的开口是哪个方向?

y=3x^2

可能的答案:

向上

向下

在左边

向右

正确答案:

向上

解释：

对于函数

y=ax^2

如果a>，抛物线开口向上

当a<0时向下

因为

3>0

抛物线向上开口。

例子问题3:确定抛物线方程并绘制抛物线图

确定以下抛物线的开放方向: y=-5x^2+3x-4

可能的答案:

$\textup{Downward}$

$\textup{Right}$

$\textup{Left}$

$\textup{Upward and downward}$

$\textup{Upward}$

正确答案:

$\textup{Downward}$

解释：

抛物线的标准形式为: ax^2+bx+c

的系数项决定抛物线开口是向上还是向下。自函数中的项 y=-5x^2+3x-4 是 a=-5 时，抛物线开口向下。

问题4:确定抛物线方程并绘制抛物线图

确定以下函数的打开方向: y=(1-x)(x-2)

可能的答案:

$\textup{Left}$

$\textup{None of the other answers.}$

$\textup{Upward}$

$\textup{Right}$

$\textup{Downward}$

正确答案:

$\textup{Downward}$

解释：

使用FOIL方法来确定 y=(1-x)(x-2) 抛物线的标准形式 y=ax^2+bx+c ．

y=(1-x)(x-2)

y= (1)(x)+(1)(-2)+(-x)(x)+(-x)(-2)

y= x-2-x^2+2x

重新组合这些术语。

y=-x^2+3x-2

因为的系数项是负的，抛物线开口向下。

例5:确定抛物线方程并绘制抛物线图

如果抛物线有顶点 (-7, 5) 和焦点 (-7, 11) ，它会向哪个方向打开?

可能的答案:

我们需要知道抛物线的准线来确定它的方向

向上

下来

正确的

左

正确答案:

向上

解释：

焦点在顶点上方，这意味着抛物线会打开

例子问题6:确定抛物线方程并绘制抛物线图

确定抛物线打开的方向。 x-y=-2y^2-2

可能的答案:

向上

左

正确的

下来

图是一条直线。

正确答案:

左

解释：

为了确定这条抛物线的方向，将变量分组在方程的一边。添加在方程两边进行分离．

x-y=-2y^2-2

x=-2y^2+y-2

因为这个方程是关于时，抛物线要么左开，要么右开。注意到的系数 y^2 项是负的。

抛物线会向左开口。

示例问题7:确定抛物线方程并绘制抛物线图

确定下面的抛物线是向上还是向下，并说明你是如何知道的。

y=3x^2-4x-198

可能的答案:

向上，因为平方项是正的。

向上，因为线性项是负的。

向下，因为常数项是负的。

向下，因为线性项是负的。

正确答案:

向上，因为平方项是正的。

解释：

确定下面的抛物线是向上还是向下，并说明你是如何知道的。

y=3x^2-4x-198

为了确定抛物线的开口方向，我们只需要考虑平方项。

在这种情况下，它是正的，所以抛物线向上开口。

线性项是负的，所以抛物线在y轴的右边。

常数项是负的，所以抛物线在x轴下面。

例8:确定抛物线方程并绘制抛物线图

确定方程打开的方向: 2x^2+y=4

可能的答案:

$\textup{Up}$

$\textup{Right}$

$\textup{Down}$

$\textup{Left}$

$\textup{Not a parabola.}$

正确答案:

$\textup{Down}$

解释：

为了确定抛物线如何开口，我们需要用标准形式重写这个方程。

写出抛物线的标准形式。

y=ax^2+bx+c

减去 -2x^2 从等式两边。

2x^2+y-2x^2=-2x^2+4

y=-2x^2+4

因为的系数是负的，方程是用时，抛物线开口向下。

答案是: $\textup{Down}$

问题9:确定抛物线方程并绘制抛物线图

哪个方程是开口向下的抛物线?

可能的答案:

y = -(x+1)^2 - 3

y = x^2 + 3 x - 2

y = -x^3 - x^2 + x - 7

y - x^2 = 3

y = (x-3)^2 + 1

正确答案:

y = -(x+1)^2 - 3

解释：

答案是 y = -(x+1)^2 - 3 因为它是唯一一个前导系数为负的二次多项式。

示例问题21:抛物线

下面用标准形式表示抛物线的方程:

$\frac{x^2-6x}{3}=y+7$

可能的答案:

$y=\frac{7}{3}x^2+2x+\frac{7}{3}$

$y=-\frac{7}{3}x^2-2x-\frac{7}{3}$

$y=\frac{1}{3}x^2-2x-7$

$y=-\frac{1}{3}x^2+2x-7$

$y=\frac{7(x^2-6x)}{3}$

正确答案:

$y=\frac{1}{3}x^2-2x-7$

解释：

为了得到标准形式，抛物线方程必须写成下列形式之一:

y=ax^2+bx+c

x=ay^2+by+c

我们可以看到，我们的方程包含了上面第一种形式的所有分量，所以现在我们要做的就是用代数来重新排列方程，并用x表示函数y。我们从方程左边的分数开始，然后分离出y，得到标准形式的抛物线方程:

$\frac{x^2-6x}{3}=y+7$

$\frac{1}{3}x^2-2x=y+7$

$y=\frac{1}{3}x^2-2x-7$

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