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微积分预备:用极限判断一个函数是否连续

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例子问题

例子问题1:判断一个函数是否连续使用极限

求下列函数连续的定义域:

$\frac{x^4-x^3-12x^2}{x+3}$

可能的答案:

$(-\infty ,\infty)$

$(-\infty ,3),(3,\infty)$

$(-\infty ,-3),(-3,\infty)$

$(-\infty ,4),(4,\infty)$

$(-\infty ,-3],[-3,\infty)$

正确答案:

$(-\infty ,-3),(-3,\infty)$

解释：

分子因子中的函数为:

(x-4)(x+3)x^2

如果我们把分子分母上的x+3消掉我们就得到了相同的函数但它是连续的。的 $\frac{x+3}{x+3}$ 在x=-3处有一个洞所以函数在x=-3处不连续。

例子问题1:判断一个函数是否连续使用极限

下面函数中的不连续点是什么?它们的类型是什么?

$\frac{(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-4)}$

可能的答案:

$\textup{Removable at}\ x=3\textup{; Infinite at}\ x=1$

$\textup{Removable at}\ x=1\ \textup{and}\ x=3$

$\textup{Removable at}\ x=3\textup{; Infinite at}\ x=4$

$\textup{Infinite at}\ x=3\ \textup{and}\ x=4$

正确答案:

$\textup{Removable at}\ x=3\textup{; Infinite at}\ x=4$

解释：

因为这个因子 (x-3) 在分子和分母上，有一个可移动的不连续点吗 x=3 ．函数没有定义在 x=3 ，但是对于结果函数，函数会向同一点移动 $\frac{x+1}{x-4}$ ．

因为这个因子 (x-4) 不能提出来，有一个无限的不连续点 x=4 ．分母会变得很小分子会向一个固定值移动。

没有一点不连续 x=-1 ．函数在这一点上的值为零。

例子问题3:判断一个函数是否连续使用极限

确定函数是否 $y=x^\frac{2}{3}$ 是连续的 x=0 使用限制。

可能的答案:

不，它不是连续的因为左边的极限和右边的极限不匹配。

不，它不是连续的，因为左限和右限不等于函数在0处的值。

是的，它是连续的，因为右边和左边的极限等于函数的实际值。

是的，它是连续的，因为左右极限相等。

正确答案:

是的，它是连续的，因为右边和左边的极限等于函数的实际值。

解释：

为了确定一个函数在一点上是否连续，必须满足三个条件。

1)求函数左边的极限向某一特定点存在。

2)求函数右边向某一点的极限存在。

3)来自1)和2)的极限是相等的，并且等于原始函数在特定问题点的值。

在我们的例子中，

1） $\lim_{x->0^{-}}=0$

2） $\lim_{x->0^{+}}=0$

3） y(0)=0

因为所有这些条件都满足，函数在0处是连续的。

例子问题1:判断一个函数是否连续使用极限

确定 y=e^x 在定义域的所有点上都是连续的。

可能的答案:

不，它不是连续的，因为左限和右限不等于函数在0处的值。

是的，它是连续的，因为右边和左边的极限等于函数的实际值。

是的，它是连续的，因为左右极限相等。

不，它不是连续的因为左边的极限和右边的极限不匹配。

正确答案:

是的，它是连续的，因为右边和左边的极限等于函数的实际值。

解释：

首先，找到任意一点 x= b , y=e^b ．

然后找到

$\lim_{x->b^{+}} e^{x}=e^{b}$ 而且 $\lim_{x->b^{-}} e^{x}=e^{b}$ ．

由于这些都相等，可以确定函数在其定义域的所有点上是连续的。

例5:判断一个函数是否连续使用极限

让 $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}$ ．确定函数是否连续使用极限。

可能的答案:

$(-\infty, \infty)$

$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{3},\infty \right)$

$(-\infty, -3) (-3,\infty )$

$\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \left(-\frac{1}{3},\infty \right)$

$(-\infty, 3) (3,\infty )$

正确答案:

$(-\infty, \infty)$

解释：

作为方法，函数 $f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}$ 方法 $\frac{3^{2}-9}{3-3}=\frac{0}{0}$ ，没有定义。但是，如果我们因式分解 f(x) ，得到:

$f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}$

$f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$

的 (x-3) 分子分母上的因子约掉了，剩下 f(x)=x+3 ．

因此，我们的函数在的所有值处是连续的从 $(-\infty, \infty)$ ．

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