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线性代数:单位矩阵和对角矩阵

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例子问题

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问题1:操作和属性

下面哪个矩阵是单位矩阵的标量倍?

$\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0& 2\\ 2&0 \end{pmatrix}$

可能的答案:

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0& 2\\ 2&0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}$

正确答案:

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$

解释：

的x单位矩阵为

$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

对于这个问题，我们看到

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e*1&e*0 \\ e*0&e*1 \end{pmatrix}=e\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

所以

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$ 是单位矩阵的标量倍。

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问题1:单位矩阵和对角矩阵

关于对角矩阵，下列哪个是正确的?

可能的答案:

(任何大小的)零矩阵不是对角矩阵。

其他答案都是假的。

任意对角矩阵的行列式是。

任何对角矩阵的迹等于它的行列式。

两个对角矩阵的乘积(任意顺序)总是另一个对角矩阵。

正确答案:

两个对角矩阵的乘积(任意顺序)总是另一个对角矩阵。

解释：

你可以直接证明它，或者在计算器上乘几个例子。

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问题1:操作和属性

关于……下列哪项是正确的 $n \times n$ 单位矩阵 I_n ？

可能的答案:

I_n^n = nI_n

其他的答案都是正确的。

|I_n| = n

Tr(I_n) = n

正确答案:

Tr(I_n) = n

解释：

是跟踪操作。它的意思是把矩阵主对角线上的元素加起来。自 I_n 有沿着它的主对角线，轨迹 I_n 是。

报告错误

问题1:单位矩阵和对角矩阵

如果

$A = \begin{bmatrix} 2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2 \end{bmatrix}$

找到 A^7 。

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

没有其他答案

$\begin{bmatrix} 64& 0& 0& 0& 0\\ 0& 433& 0& 0& 0\\ 0& 0& 10& 0& 0\\ 0& 0& 0& 98& 0\\ 0& 0& 0& 0& 65 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 986& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2953& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1638& 0& 0\\ 0& 0& 0& 900& 0\\ 0& 0& 0& 0& 900 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

解释：

自是一个对角矩阵，我们可以更容易地求出它的幂通过将它里面的数字的幂相加。

$A^7 = \begin{bmatrix} 2^7& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3^7& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4^7& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2^7& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2^7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

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问题1:单位矩阵和对角矩阵

真或假，集合所有 $n \times n$ 对角矩阵构成了向量空间的一个子空间 $n \times n$ 矩阵。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

真正的

解释：

为了了解为什么它是正确的，我们必须检查子空间的两个公理。

1.向量加法下的闭包:两个对角矩阵的和是另一个对角矩阵吗?是的，如果有的话，只有对角线元素会改变。尽管如此，它仍然是一个对角矩阵因为矩阵中的其他元素都是。

2.标量乘法下的闭包:一个标量乘以一个对角矩阵是另一个对角矩阵吗?是的，它是。如果你将任何数字乘以一个对角矩阵，只有对角元素会改变。所有其他的项仍然是。

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问题2:单位矩阵和对角矩阵

真或假，如果一个对角矩阵的任何一个主对角元素是，那么这个矩阵是不可逆的。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

也许最简单的方法就是求对角矩阵的行列式。我们可以求对角矩阵的行列式通过简单地将主对角线上的所有元素相乘。因为其中一项是，那么行列式是，因此矩阵是不可逆的。

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问题1:单位矩阵和对角矩阵

是真还是假 $n \times n$ 单位矩阵有不同(不同)特征值。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

我们可以求出单位矩阵的特征值通过求出所有的值 $\lambda$ 这样 $det(I_n\lambda -I_n) =0$ 。

因此我们有

$det(I_n\lambda -I_n) = (\lambda-1)^n = 0$

所以 $\lambda =1$ 是唯一的特征值，与单位矩阵的大小无关。

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问题2:单位矩阵和对角矩阵

对单位矩阵进行一次初等行运算得到的矩阵叫什么?

可能的答案:

没有其他答案

一个转移矩阵

逆矩阵

初等矩阵

初等行矩阵

正确答案:

初等矩阵

解释：

这是正确的术语。当方便时，可以使用初等矩阵本身来代替初等行运算来行化简其他矩阵。

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问题1:单位矩阵和对角矩阵

根据定义，与对角矩阵相似的方阵是

可能的答案:

单位矩阵

对称的

对角化的

幂等

没有一个给出的答案

正确答案:

对角化的

解释：

另一种表述这个定义的方式是方阵当且仅当存在可逆矩阵时，说它是可对角的对角矩阵这样 $A=PBP^{-1}$ 。

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问题1:单位矩阵和对角矩阵

的 $n \times n$ 单位矩阵

可能的答案:

是不可对角化的。

有排名。

是等幂的。

有不同的特征值，与大小无关。

已经无效。

正确答案:

是等幂的。

解释：

幂等矩阵是这样的矩阵 A^2 =A 。这个由单位矩阵满足因为单位矩阵乘以它自己还是单位矩阵。

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