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例子问题

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例子问题1:操作和属性

下列哪个矩阵是单位矩阵的标量倍?

$\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0& 2\\ 2&0 \end{pmatrix}$

可能的答案:

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0& 2\\ 2&0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}$

正确答案:

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$

解释：

的x单位矩阵是

$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

对于这个问题，我们看到了

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e*1&e*0 \\ e*0&e*1 \end{pmatrix}=e\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

所以

$\begin{pmatrix} e&0 \\ 0&e \end{pmatrix}$ 是单位矩阵的标量倍。

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

关于对角矩阵，下列哪项是正确的?

可能的答案:

任意对角矩阵的行列式是．

任何对角矩阵的迹都等于它的行列式。

两个对角矩阵的乘积(以任意一种顺序)总是另一个对角矩阵。

其他的答案都是错的。

零矩阵(任意大小)不是对角矩阵。

正确答案:

两个对角矩阵的乘积(以任意一种顺序)总是另一个对角矩阵。

解释：

你可以直接证明它，或者用计算器乘以一些例子。

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例子问题1:操作和属性

关于……下列哪项是正确的 $n \times n$ 单位矩阵 I_n ?

可能的答案:

I_n^n = nI_n

其他的答案都是正确的。

|I_n| = n

Tr(I_n) = n

正确答案:

Tr(I_n) = n

解释：

是跟踪操作。它的意思是把矩阵主对角线上的元素加起来。自 I_n 有沿着主对角线的 I_n 是．

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

如果

$A = \begin{bmatrix} 2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2 \end{bmatrix}$

找到 A^7 ．

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

其他答案都没有

$\begin{bmatrix} 64& 0& 0& 0& 0\\ 0& 433& 0& 0& 0\\ 0& 0& 10& 0& 0\\ 0& 0& 0& 98& 0\\ 0& 0& 0& 0& 65 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 986& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2953& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1638& 0& 0\\ 0& 0& 0& 900& 0\\ 0& 0& 0& 0& 900 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

解释：

自是对角矩阵，我们可以更容易地求出它的乘方只要把里面的数取相应的乘方。

$A^7 = \begin{bmatrix} 2^7& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3^7& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4^7& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2^7& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2^7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 128& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2187& 0& 0& 0\\ 0& 0& 16384& 0& 0\\ 0& 0& 0& 128& 0\\ 0& 0& 0& 0& 128 \end{bmatrix}$

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例子问题1:操作和属性

真或假，集一切 $n \times n$ 对角矩阵构成了所有向量空间的一个子空间 $n \times n$ 矩阵。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

真正的

解释：

要知道为什么它是正确的，我们必须检验子空间的两个公理。

1.向量加法下的闭包:两个对角矩阵的和是另一个对角矩阵吗?是的，如果有的话，只有对角线项会改变。尽管如此，它仍然是一个对角矩阵因为矩阵中的其他元素都是．

2.标量乘法下的闭包:一个标量乘以一个对角矩阵是另一个对角矩阵吗?是的,这是。如果你将任意数乘以对角线矩阵，只有对角线项会改变。所有其他的项都是．

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

真或假，如果对角矩阵的任何一个主对角项是那么这个矩阵是不可逆的。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

真正的

解释：

也许最简单的方法就是取对角矩阵的行列式。我们可以求一个对角矩阵的行列式只要沿着它的主对角线乘以所有的元素。因为其中一项是，那么行列式是，因此矩阵是不可逆的。

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

是真还是假 $n \times n$ 单位矩阵,不同的(不同)的特征值。

可能的答案:

真正的

假

正确答案:

假

解释：

我们可以通过求的所有值来找到单位矩阵的特征值 $\lambda$ 这样 $det(I_n\lambda -I_n) =0$ ．

因此我们有

$det(I_n\lambda -I_n) = (\lambda-1)^n = 0$

所以 $\lambda =1$ 是唯一的特征值，与单位矩阵的大小无关。

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

对单位矩阵进行一次初等行运算得到的矩阵的名称是什么?

可能的答案:

一个基本的矩阵

一个逆矩阵

其他答案都没有

一个转换矩阵

初等行矩阵

正确答案:

一个基本的矩阵

解释：

这是正确的术语。在方便的情况下行约简时，初等矩阵本身可以用来代替初等行运算。

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

根据定义，类似于对角矩阵的方阵是

可能的答案:

单位矩阵

对称的

对角化的

幂等

没有一个答案

正确答案:

对角化的

解释：

另一种表述这个定义的方法是一个方阵当且仅当存在某个可逆矩阵时，它是可对角化的和对角矩阵这样 $A=PBP^{-1}$ ．

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例子问题1:单位矩阵和对角矩阵

的 $n \times n$ 单位矩阵

可能的答案:

有不同的特征值，无论大小。

不是对角化的。

是等幂的。

有排名．

已经无效．

正确答案:

是等幂的。

解释：

幂等矩阵是这样的 A^2 =A ．这由单位矩阵来满足因为单位矩阵乘以它本身还是单位矩阵。

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