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线性代数:范数

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例子问题

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问题1:规范

求下面向量的范数。

A=[3,4,5]

可能的答案:

$\left \| A\right \|=\sqrt{2}$

$\left \| A\right \|=5\sqrt{2}$

$\left \| A\right \|=2\sqrt{5}$

$\left \| A\right \|=\sqrt{52}$

$\left \| A\right \|=5$

正确答案:

$\left \| A\right \|=5\sqrt{2}$

解释：

向量的模就是每个分量和的平方和的平方根。

$\left \| A\right \|=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

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问题2:规范

求向量的范数．

$A=(\cos(x), \sin(x))$

可能的答案:

$\left \| A\right \|=1$

$\left \| A\right \|=0$

$\left \| A\right \|=1+\sin^2(x)$

$\left \| A\right \|=1+\cos^2(x)$

$\left \| A\right \|=\cos(x)+\sin(x)$

正确答案:

$\left \| A\right \|=1$

解释：

为了找到范数，我们需要对每个分量进行平方，求和，然后开方。

$\left \| A\right \|=\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=\sqrt{1}=1$

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问题3:规范

找到标准, $\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}$ ,鉴于 $\bf{a}= \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 7\\ -2 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}=58$

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}=\sqrt{58}$

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}=-28$

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}=\sqrt{8}$

正确答案:

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}=\sqrt{58}$

解释：

根据定义,

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}= \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2}$ ，

因此,

$\begin{Vmatrix} \bf{a} \end{Vmatrix}= \sqrt{2^2+1^2+7^2+(-2)^2}= \sqrt{58}$ ．

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问题4:规范

计算范数 $\bf{A}\times \bf{B}$ ,或 $\begin{Vmatrix} \bf{A}\times \bf{B} \end{Vmatrix}$ ,鉴于

$\bf{A} = 3 \hat{i} - 1 \hat{j}$ ，

$\bf{B} = -1 \hat{k}$ ．

可能的答案:

$\begin{Vmatrix} \bf{A}\times \bf{B} \end{Vmatrix}= 10$

$\begin{Vmatrix} \bf{A}\times \bf{B} \end{Vmatrix}= 4$

$\begin{Vmatrix} \bf{A}\times \bf{B} \end{Vmatrix}=\sqrt{10}$

不能确定。

正确答案:

$\begin{Vmatrix} \bf{A}\times \bf{B} \end{Vmatrix}=\sqrt{10}$

解释：

首先，我们需要找到 $\bf{A}\times \bf{B}$ ．根据定义，

$\bf{A \times \bf{B}}= \begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j} &\hat{k} \\ 3& -1& 0\\ 0&0 &-1 \end{vmatrix}= 1\hat{i}+3\hat{j}$ ．

因此,

$\begin{Vmatrix} \bf{A}\times \bf{B} \end{Vmatrix}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ ．

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问题5:规范

求向量的范数 $\vec{v} = (4, 3, 0)$

可能的答案:

$\sqrt{7}$

正确答案:

解释：

为了找到范数，将每个分量平方，相加，然后取平方根:

$\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2 } = \sqrt{16 + 9 } = \sqrt{25 } = 5$

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问题6:规范

找到一个方向相同的单位向量 $\vec{v} = (2, -3, \sqrt{3})$

可能的答案:

$(\frac{2}{\sqrt{2}}, -\frac{3}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

(4,4,4)

$(1, -1.5, \frac{\sqrt3}{2} )$

$(\frac{1}{2} , -\frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4})$

正确答案:

$(\frac{1}{2} , -\frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4})$

解释：

首先，求出向量的长度: $\sqrt{ 2^2 + (-3)^2 + (\sqrt{3})^2 } = \sqrt{4+9+3} = \sqrt{16} = 4$

因为这个向量的长度是4而单位向量的长度是1，所以所有的都除以4

$( \frac{ 2}{4} , \frac{-3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{1}{2} , -\frac{3}{4} , \frac{\sqrt{3}}{4})$

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问题7:规范

求向量的范数 $\vec{v} = (-1, 3, 2,2)$

可能的答案:

$\sqrt{6}$

$3 \sqrt{2}$

$2 \sqrt{3}$

正确答案:

$3 \sqrt{2}$

解释：

$|| \vec{v} || = \sqrt{ (-1)^2 + 3^2 + 2^2 + 2^2 } = \sqrt{ 1 + 9 + 4 + 4 } = \sqrt{18}$

这可以简化为:

$\sqrt{18 } = \sqrt{3\cdot3\cdot2 } = 3 \sqrt{2 }$

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问题8:规范

求向量的范数 $\vec{v} = (2, -3, 1 )$

可能的答案:

$\sqrt{14 }$

$\sqrt{4}$

$\sqrt{10}$

正确答案:

$\sqrt{14 }$

解释：

$|| \vec{v} || = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$

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问题9:规范

求向量的范数 $\vec{v}= (4, 2, -5 )$

可能的答案:

$5 \sqrt{2}$

$3 \sqrt{5}$

正确答案:

$3 \sqrt{5}$

解释：

$|| \vec{v} || = \sqrt{ 4^2 + 2^2 + (-5)^2 } = \sqrt{16 + 4 + 25 } = \sqrt{45}$

这可以简化为:

$\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 5 } = 3 \sqrt {5}$

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问题10:规范

求向量的范数 $\vec{v} = (2, -3, -6 )$

可能的答案:

$\sqrt{41 }$

$\sqrt{23}$

正确答案:

解释：

$|| \vec{v} || = \sqrt{ 2^2 + (-3)^2 + (-6)^2 } = \sqrt{4 + 9 + 36 } = \sqrt{49} = 7$

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