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ISEE上层定量:最小公倍数

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例子问题

例子问题1:如何找到最小公倍数

15和25的最小公倍数是多少?

可能的答案:

125

150

175

正确答案:

解释：

$\textrm{LCM }(15,25)$ 是15和25的倍数中最小的数，所以我们可以看到哪个是两个倍数列表中出现的第一个数。

15的倍数:

$\left \{ 15, 30, 45, 60, \underline{75}, 90, 105,...\right \}$

25的倍数:

$\left \{ 25, 50, \underline{75}, 100, 125, 150,...\right \}$

$\textrm{LCM }(15,25)= 75$

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例子问题2:如何找到最小公倍数

N= M + 1

哪个数量更大?

(一) LCM(M, 100)

(b) LCM(N, 100)

可能的答案:

没有提供足够的信息来回答这个问题。

(b)更大。

(一)更大。

(a)和(b)相等。

正确答案:

没有提供足够的信息来回答这个问题。

解释：

我们通过两种情况来证明给定的信息是不够的:

M = 2, N = 3 而且 M = 3, N = 4

而且分为 100 ,所以 LCM(2, 100) = 100 而且 LCM(4, 100) = 100 ．

', $100 = 2\times2\times5\times5$ ,所以

$LCM(3, 100) = 2\times2\times3\times5\times5 = 300$ ．

因此,如果 M = 2, N = 3 ， (b)较大，且如果 M = 3, N = 4 ， (a)更大。

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示例问题3:如何找到最小公倍数

哪个数量更大?

(一) $50 \times 60$

(b) $LCM (50,60 ) \times GCF (50,60 )$

可能的答案:

(b)更大。

(一)更大。

(a)和(b)相等。

从所提供的信息无法判断。

正确答案:

(a)和(b)相等。

解释：

50和60的质因数分解为:

$50 = 2 \times 5 \times 5$

$60 = 2\times2\times3\times5$

50和60的最大公因数是它们共有的质因数的乘积:

$GCF (50,60) = 2 \times 5 = 10$

50和60的最小公倍数是所有共有因子计算一次的质因数:

$LCM (50,60 ) = 2\times2\times3\times5\times 5 = 300$

$GCF (50,60) \times LCM (50,60) = 10 \times 300 = 3,000 = 50 \times 60$ ，

(a)和(b)相等。

注意:两个整数的GCF和LCM的乘积等于这两个整数本身的乘积，这也是整数的一个性质。

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例子问题1:最小公倍数

哪个数量更大?

(一) $6 \times 8 \times 10$

(b) $GCF (6,8,10) \times LCM (6,8,10)$

可能的答案:

(一)更大

(a)和(b)相等

(b)更大

从所提供的信息无法判断

正确答案:

(一)更大

解释：

(一) $6 \times 8 \times 10 = 480$

(b) GCF (6,8,10) ，列出他们的因素:

$6: 1, \underline{2}, 3, 6$

$8: 1,\underline{2}, 4, 8$

$10:1,\underline{2},5,10$

GCF (6,8,10) = 2

找到 LCM (6,8,10) ，检查它们的主要因素:

6 = 2 $\times 3$

$8 = 2 \times 2 \times 2$

10: 2 $\times 5$

$LCM (6,8,10) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120$

$GCF (6,8,10) \times LCM (6,8,10) = 2 \times 120 = 240$

(一)更大。

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例子问题1:如何找到最小公倍数

下列哪项数量较大?

25和30的最小公倍数

(B) 300

可能的答案:

(A)和(B)相等

(B)更大

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(一)更大

正确答案:

(B)更大

解释：

找到 LCM(25,30) 我们可以列出两个数的倍数，并找出两个数中最小的数:

$25: 25, 50, 75, 100, 125, \underline{150},...$

$30:30, 60, 90, 120, \underline{150}, 180...$

LCM(25,30) = 150 < 300 ，所以(B)更大

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示例问题6:如何找到最小公倍数

下列哪个选项是25和40的最小公倍数?

可能的答案:

160

200

250

150

正确答案:

200

解释：

列出25和40的前几个倍数:

$25: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, \underline{200},...$

$40: 40, 80, 120, 160, \underline{200}, 240,...$

两个因子表中最小的数都是200。

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示例问题7:如何找到最小公倍数

用504和624的最小公倍数乘以504和624的最大公因数。

可能的答案:

104,832

52,416

314,496

628,992

157,248

正确答案:

314,496

解释：

任意两个整数的最小公倍数与同一两个整数的最大公因数的乘积就是这两个整数本身的乘积。因此,

$LCD (504, 624) \times GCF (504, 624) = 504 \times 624 = 314,496$ ．

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示例问题8:如何找到最小公倍数

，，，,是五个不同的素数。给出的最小公倍数 $abc^{2}d$ 而且 $a^{2}bde^{2}$ ．

可能的答案:

abcde

$a^{2}bc^{2}de^{2}$

$a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}$

abd

$a^{2}bd$

正确答案:

$a^{2}bc^{2}de^{2}$

解释：

如果把两个整数分解成它们的质因数，它们的最大公因数就是出现在一个或两个分解。

自，，，,是不同的'对于整数，这两个表达式可以按照下面的方法分解它们的质因数——并在公因数下面加下划线:

$abc^{2}d \; \; = a\; \; \; \; \cdot b \cdot c \cdot c \cdot d$

$a^{2}bde^{2} = a \cdot a \cdot b \; \; \; \;\; \; \; \; \cdot d \cdot e \cdot e$

LCM收集每一个因素:

$LCM = a \cdot a \cdot b \cdot c \cdot c \cdot d \cdot e \cdot e$

$= a^{2}bc^{2}de^{2}$

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示例问题9:如何找到最小公倍数

定义一个操作 $\bigstar$ 如下:

对于所有正整数而且

$a \bigstar b = \textup{lcd }(a,b) + \textup{gcf }(a,b)$ ．

评估 $100 \bigstar 80$ ．

可能的答案:

420

1,008

516

180

240

正确答案:

420

解释：

为了求出100和80的LCD和GCF，首先求出它们的质因数:

$80 =\underline{2} \cdot\underline{ 2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \underline{5}$

$100 = \underline{2} \cdot \underline{2} \cdot \underline{5} \cdot 5$

两者的GCF是它们共有素因子的乘积，所以

$\textup{gcf }(100, 80) = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$

LCM是在一种或另一种因式分解中出现的所有因素的乘积，所以

$\textup{lcm }(100, 80) = 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 400$

添加:

$a \bigstar b = \textup{lcd }(a,b) + \textup{gcf }(a,b) = 400 + 20 = 420$

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示例问题10:如何找到最小公倍数

下面哪个选项是的最小公倍数而且 40?

可能的答案:

150

160

200

250

正确答案:

200

解释：

列出两者的前几个倍数而且 $40\textup:$

$25: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, \underline{200},...$

$40: 40, 80, 120, 160, \underline{200}, 240,...$

两个因子表中最小的数是 200 ．

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