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ISEE高级数学:如何找到金字塔的体积

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例子问题

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例子问题1:如何找到金字塔的体积

金字塔有4英尺高。它的底座是一个边长3英尺的正方形。给出它的体积，单位是立方英寸。

可能的答案:

$5,184\textrm{ in}^{3}$

$62,208 \textrm{ in}^{3}$

$31,104\textrm{ in}^{3}$

$124,416\textrm{ in}^{3}$

$20,736 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$20,736 \textrm{ in}^{3}$

解释：

将每个测量值从英寸转换为英尺，乘以12:

身高:4英尺= $4 \times 12 = 48$ 英寸

底座边长:3英尺= $3 \times 12 = 36$ 英寸

金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} Bh$

因为底是正方形，我们可以替换 $B = s^{2}$ ：

$V = \frac{1}{3} s ^{2}h$

替代 s=36, h = 48

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 ^{2}\cdot 48$

V =20,736

金字塔的容积为20,736立方英寸。

例子问题1:如何找到金字塔的体积

一个 300 尺高的金字塔有一个方形的底座测量脚在两边。金字塔的体积是多少?

可能的答案:

$160,000 ft^{3}$

$4,000 ft^{3}$

$480,000 ft^{3}$

$12,000 ft^{3}$

$160,000 ft^{2}$

正确答案:

$160,000 ft^{3}$

解释：

为了求三角形的面积，我们用这个公式 $\frac{1}{3}Bh$ ．在这种情况下，由于底是正方形，我们可以替换与 $s^{2}$ ，所以体积的公式是 $\frac{1}{3}s^{2}h$ ．

因为底边每边的长度是脚，我们可以用它来代替．

$\frac{1}{3}\cdot (40)^{2}\cdot h$

我们还知道高是 300 脚，所以我们可以把它代入．

$\frac{1}{3}\cdot (40)^{2}\cdot 300$

这给了我们一个答案 $160,000 ft^{3}$ ．

重要的是要记住体积的单位是立方。

例子问题1:体积

右金字塔的高度是的脚。它的底座是一个有边长的正方形的脚。给出它的体积，单位是立方英寸。

可能的答案:

$31,104 \textrm{ in}^{3}$

$10,368 \textrm{ in}^{3}$

$62,208\textrm{ in}^{3}$

$41,472 \textrm{ in}^{3}$

$15,552 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$10,368 \textrm{ in}^{3}$

解释：

通过乘以将每一个测量值从英尺转换为英寸．

高度: $2 \times 12 = 24$ 英寸

底座边长: $3 \times 12 = 36$ 英寸

金字塔底部有面积

$B = s^{2} = 36^{2} = 1,296$ 平方英寸。

替代 B = 1,296, h = 24 代入体积公式:

$V = \frac {1}{3} Bh$

$V = \frac {1}{3} \cdot 1,296 \cdot 24 =10,368$ 立方英寸

例子问题2:如何找到金字塔的体积

右金字塔的高度是英寸。它的底座是一个有边长的正方形英寸。给出它的体积，单位是立方英尺。

可能的答案:

$4 \textrm{ ft}^3$

$9 \frac {1}{3} \textrm{ ft}^3$

$14 \textrm{ ft}^3$

$4 \frac {2}{3} \textrm{ ft}^3$

$2 \frac {1}{3} \textrm{ ft}^3$

正确答案:

$4 \frac {2}{3} \textrm{ ft}^3$

解释：

通过除以，将每个测量值从英寸转换为英尺．

高度: $42 \div 12 = 3 \frac{1}{2}$ 脚

Sidelength: $24 \div 12 = 2$ 脚

金字塔底部有面积

$B = s^{2} = 2^{2} = 4$ 平方英尺。

替代 $B = 4, h = 3 \frac{1}{2}$ 代入体积公式:

$V = \frac {1}{3} Bh$

$V = \frac {1}{3}\cdot 4 \cdot 3 \frac{1}{2}$

$V = \frac {1}{3} \cdot \frac {4}{1} \cdot \frac{7}{2}$

$V = \frac {1}{3} \cdot \frac {2}{1} \cdot \frac{7}{1} = \frac {14}{3} = 4 \frac {2}{3}$ 立方英尺

例5:金字塔的体积

一个右金字塔的高度和它的方底的边长相等。基地的周长是3英尺。给出它的体积，单位是立方英寸。

可能的答案:

$729 \textrm{ in}^{3}$

$81 \textrm{ in}^{3}$

$27 \textrm{ in}^{3}$

$243 \textrm{ in}^{3}$

$576 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$243 \textrm{ in}^{3}$

解释：

方形底座的周长，脚，相当于 $3 \times 12 = 36$ 英寸;除以要得到底座的边长和高度: $36 \div 4 = 9$ 英寸。

因此，基座的面积为 $B = s^{2} = 9^{2} = 81$ 平方英寸。

在金字塔体积的公式中，代入 B = 81,h=9 ：

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3}\cdot 81 \cdot 9 = 243$ 立方英寸。

例子问题1:金字塔的体积

用下面的测量方法，金字塔的体积是多少?

$length=7; width=6;height=9;slant\ length=11$

可能的答案:

462

154

378

126

正确答案:

126

解释：

金字塔的体积可以用下面的公式来计算:

$V=\frac{1}{3}lwh=\frac{1}{3}(7)(6)(9)=126$

例子问题1:如何找到金字塔的体积

有体积的正金字塔 1,000 顶点在这些点上

(0,0,0), (n,0, 0), (n,n,0), (0, n, n), (n,n,n)

在哪里 n > 0 ．

评估．

可能的答案:

$n = 10 \sqrt[3]{2}$

n = 30

n = 10

$n = 10 \sqrt[3]{3 }$

n = 20

正确答案:

$n = 10 \sqrt[3]{3 }$

解释：

也就是说，金字塔的底是方形的的单位单位，其高度为单位，从图中可以看出，

金字塔

方形底座有面积 $B = n^{2}$ ；金字塔有体积 $V = \frac{1}{3} \cdot n^{2} \cdot n = \frac{1}{3} n^{3}$

因为体积是1000，我们可以设这个等于1000，然后解出：

$\frac{1}{3} n^{3} = 1,000$

$n^{3} = 3,000$

$n = \sqrt[3]{3,000} = \sqrt[3]{1,000} \cdot \sqrt[3]{3 } = 10 \sqrt[3]{3 }$

问题4:如何找到金字塔的体积

用下列方法求金字塔的体积:

长度= 4英寸
宽度= 3英寸
身高= 5英寸

可能的答案:

$20\text{in}^3$

$60\text{in}^3$

$40\text{in}^3$

$80\text{in}^3$

$12\text{in}^3$

正确答案:

$20\text{in}^3$

解释：

为了求出金字塔的体积，我们将使用以下公式:

$V = \frac{l \cdot w \cdot h}{3}$

在哪里l是长度，w是宽度，和h是金字塔的高度。

现在，我们知道金字塔底部的长度是4英寸。我们还知道金字塔底部的宽度为3英寸。我们还知道金字塔有5英寸高。

知道了这个，我们可以代入公式。我们得到了

$V = \frac{4\text{in} \cdot 3\text{in} \cdot 5\text{in}}{3}$

$V = \frac{60\text{in}^3}{3}$

$V = 20\text{in}^3$

问题11:立体几何

用下列方法求金字塔的体积:

长度= 4cm
宽度= 9cm
高= 8cm

可能的答案:

$24\text{cm}^3$

$96\text{cm}^3$

$154\text{cm}^3$

$126\text{cm}^3$

$288\text{cm}^3$

正确答案:

$96\text{cm}^3$

解释：

为了求出金字塔的体积，我们将使用以下公式:

$V = \frac{l \cdot w \cdot h}{3}$

在哪里l是长度，w是宽度，和h是金字塔的高度。

现在，我们知道了以下测量方法:

长度= 4cm
宽度= 9cm
高= 8cm

知道了这个，我们可以代入公式。我们得到了

$V = \frac{4\text{cm} \cdot 9\text{cm} \cdot 8\text{cm}}{3}$

$V = \frac{288\text{cm}^3}{3}$

$V = 96\text{cm}^3$

例子问题1:如何找到金字塔的体积

用下列方法求金字塔的体积:

长度:7
宽度:6
高度:8

可能的答案:

$336\text{in}^3$

$426\text{in}^3$

$168\text{in}^3$

$112\text{in}^3$

$221\text{in}^3$

正确答案:

$112\text{in}^3$

解释：

为了求出金字塔的体积，我们将使用以下公式:

$V = \frac{lwh}{3}$

在哪里l是长度，w是宽度，而且h是金字塔的高度。

现在，我们知道了以下测量方法:

长度:7
宽度:6
高度:8

那么，我们得到

$V = \frac{ 7\text{in} \cdot 6\text{in} \cdot 8\text{in}}{3}$

$V = \frac{42\text{in}^2 \cdot 8\text{in}}{3}$

$V = \frac{336\text{in}^3}{3}$

$V = 112\text{in}^3$

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