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ISEE高级数学:固体几何

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例子问题

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例子问题3:解决涉及二维和三维物体的面积、体积和表面积的问题:Ccss.Math.Content.7.G.B.6

用以下测量方法求非立方棱镜的表面积:

l=7;w=6;h=2

可能的答案:

168

136

正确答案:

136

解释：

非立方棱镜的表面积可以用以下公式确定:

SA=2lw+2wh+2lh

SA=2(7)(6)+2(6)(2)+2(7)(2)=84+24+28=136

例子问题1:棱镜

上图显示的是一个矩形实体。阴影部分是正方形。在这方面，给出盒子的表面积。

可能的答案:

$4x^{2} + 30 x$

60x + 450

$15x^{2}$

225x

正确答案:

60x + 450

解释：

正方形有四条等长边，如下图所示。

所有6条边都是矩形，所以它们的面积等于它们尺寸的乘积:

上、下、前、后(四个面): 15x

左、右(两面): $15 \cdot 15 =225$

总表面积: $4 \cdot 15x + 2 \cdot 225 = 60x + 450$

例8:求矩形棱镜的体积

矩形棱镜的宽为3英寸，长为6英寸，高为长的三倍。求棱镜的体积。

可能的答案:

420in^3

27in^3

38in^3

324in^3

正确答案:

324in^3

解释：

矩形棱镜的宽为3英寸，长为6英寸，高为长的三倍。求棱镜的体积。

通过以下方法求出矩形棱镜的体积:

V=l*w*h

其中l、w、h分别为长、宽、高。

我们知道自己的长度和宽度，还被告知身高是长度的三倍，所以……

h=3l=3*6in=18in

现在我们有了所有的测量值，将它们代入并求解:

V=3in*6in*18in=324in^3

问题9:求矩形棱镜的体积

上图显示的是一个矩形实体。阴影部分是正方形。在这方面，给出盒子的体积。

可能的答案:

225x

$4x^{2} + 30 x$

$15x^{2}$

60x + 450

正确答案:

225x

解释：

正方形有四条等长边，如下图所示。

固体的体积等于它的长、宽、高之积，如下所示:

$V = 15 \cdot 15 \cdot x =225 x$ ．

例子问题3:金字塔的体积

金字塔有4英尺高。它的底座是一个边长3英尺的正方形。给出它的体积，单位是立方英寸。

可能的答案:

$31,104\textrm{ in}^{3}$

$20,736 \textrm{ in}^{3}$

$124,416\textrm{ in}^{3}$

$5,184\textrm{ in}^{3}$

$62,208 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$20,736 \textrm{ in}^{3}$

解释：

将每个测量值从英寸转换为英尺，乘以12:

身高:4英尺= $4 \times 12 = 48$ 英寸

底座边长:3英尺= $3 \times 12 = 36$ 英寸

金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} Bh$

因为底是正方形，我们可以替换 $B = s^{2}$ ：

$V = \frac{1}{3} s ^{2}h$

替代 s=36, h = 48

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 ^{2}\cdot 48$

V =20,736

金字塔的容积为20,736立方英寸。

例子问题1:如何找到金字塔的体积

一个 300 尺高的金字塔有一个方形的底座测量脚在两边。金字塔的体积是多少?

可能的答案:

$160,000 ft^{3}$

$4,000 ft^{3}$

$480,000 ft^{3}$

$12,000 ft^{3}$

$160,000 ft^{2}$

正确答案:

$160,000 ft^{3}$

解释：

为了求三角形的面积，我们用这个公式 $\frac{1}{3}Bh$ ．在这种情况下，由于底是正方形，我们可以替换与 $s^{2}$ ，所以体积的公式是 $\frac{1}{3}s^{2}h$ ．

因为底边每边的长度是脚，我们可以用它来代替．

$\frac{1}{3}\cdot (40)^{2}\cdot h$

我们还知道高是 300 脚，所以我们可以把它代入．

$\frac{1}{3}\cdot (40)^{2}\cdot 300$

这给了我们一个答案 $160,000 ft^{3}$ ．

重要的是要记住体积的单位是立方。

问题4:金字塔的体积

右金字塔的高度是的脚。它的底座是一个有边长的正方形的脚。给出它的体积，单位是立方英寸。

可能的答案:

$62,208\textrm{ in}^{3}$

$41,472 \textrm{ in}^{3}$

$15,552 \textrm{ in}^{3}$

$10,368 \textrm{ in}^{3}$

$31,104 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$10,368 \textrm{ in}^{3}$

解释：

通过乘以将每一个测量值从英尺转换为英寸．

高度: $2 \times 12 = 24$ 英寸

底座边长: $3 \times 12 = 36$ 英寸

金字塔底部有面积

$B = s^{2} = 36^{2} = 1,296$ 平方英寸。

替代 B = 1,296, h = 24 代入体积公式:

$V = \frac {1}{3} Bh$

$V = \frac {1}{3} \cdot 1,296 \cdot 24 =10,368$ 立方英寸

例子问题2:如何找到金字塔的体积

右金字塔的高度是英寸。它的底座是一个有边长的正方形英寸。给出它的体积，单位是立方英尺。

可能的答案:

$4 \textrm{ ft}^3$

$9 \frac {1}{3} \textrm{ ft}^3$

$14 \textrm{ ft}^3$

$4 \frac {2}{3} \textrm{ ft}^3$

$2 \frac {1}{3} \textrm{ ft}^3$

正确答案:

$4 \frac {2}{3} \textrm{ ft}^3$

解释：

通过除以，将每个测量值从英寸转换为英尺．

高度: $42 \div 12 = 3 \frac{1}{2}$ 脚

Sidelength: $24 \div 12 = 2$ 脚

金字塔底部有面积

$B = s^{2} = 2^{2} = 4$ 平方英尺。

替代 $B = 4, h = 3 \frac{1}{2}$ 代入体积公式:

$V = \frac {1}{3} Bh$

$V = \frac {1}{3}\cdot 4 \cdot 3 \frac{1}{2}$

$V = \frac {1}{3} \cdot \frac {4}{1} \cdot \frac{7}{2}$

$V = \frac {1}{3} \cdot \frac {2}{1} \cdot \frac{7}{1} = \frac {14}{3} = 4 \frac {2}{3}$ 立方英尺

例5:金字塔的体积

一个右金字塔的高度和它的方底的边长相等。基地的周长是3英尺。给出它的体积，单位是立方英寸。

可能的答案:

$729 \textrm{ in}^{3}$

$81 \textrm{ in}^{3}$

$27 \textrm{ in}^{3}$

$243 \textrm{ in}^{3}$

$576 \textrm{ in}^{3}$

正确答案:

$243 \textrm{ in}^{3}$

解释：

方形底座的周长，脚，相当于 $3 \times 12 = 36$ 英寸;除以要得到底座的边长和高度: $36 \div 4 = 9$ 英寸。

因此，基座的面积为 $B = s^{2} = 9^{2} = 81$ 平方英寸。

在金字塔体积的公式中，代入 B = 81,h=9 ：

$V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3}\cdot 81 \cdot 9 = 243$ 立方英寸。

例子问题6:金字塔的体积

用下面的测量方法，金字塔的体积是多少?

$length=7; width=6;height=9;slant\ length=11$

可能的答案:

462

126

154

378

正确答案:

126

解释：

金字塔的体积可以用下面的公式来计算:

$V=\frac{1}{3}lwh=\frac{1}{3}(7)(6)(9)=126$

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