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二次曲线与方程的标准形式

一个圆锥曲线一个平面和一个双直角圆相交吗锥．通过改变交点的角度和位置，我们可以得到不同类型的圆锥曲线。有四种基本类型:圈，椭圆，都和抛物线．所有的交点都不会穿过锥体的顶点。

如果右圆锥体被垂直于圆锥体轴线的平面切割，则交点为圆。如果平面与锥体的某一部分及其轴相交，但不垂直于轴，则相交将是一个椭圆。要生成抛物线，相交平面必须平行于锥的一侧，并且与双锥的一部分相交。最后，为了得到双曲线，平面与圆锥的两个部分相交。为此，相交平面的斜率应该大于圆锥的斜率。

任何二次曲线的一般方程是

一个 x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F ＝ 0 在哪里 一个 ， B ， C ， D ， E 和 F 是常数。

当我们改变一些常数的值时，相应的圆锥曲线的形状也会改变。了解方程之间的差异有助于快速识别给定方程所表示的圆锥曲线类型，这一点很重要。
如果 B 2 − 4 一个 C 小于零，如果存在一个二次曲线，它要么是圆，要么是椭圆。
如果 B 2 − 4 一个 C 等于0，如果存在一条二次曲线，它就是一条抛物线。
如果 B 2 − 4 一个 C 大于0，如果存在二次曲线，它就是双曲线。


圆锥曲线方程的标准形式:

圆 （ x − h ） 2 + （ y − k ） 2 ＝ r 2

中心是 （ h ， k ） ．

半径是 r ．
长轴为水平的椭圆 （ x − h ） 2 一个 2 + （ y − k ） 2 b 2 ＝ 1

中心是 （ h ， k ） ．
长轴长度为 2 一个 ．
小轴长度为 2 b ．
中心与任一焦点之间的距离为 c 与
c 2 ＝ 一个 2 − b 2 ， 一个 > b > 0 ．
长轴垂直的椭圆 （ x − h ） 2 b 2 + （ y − k ） 2 一个 2 ＝ 1

中心是 （ h ， k ） ．
长轴长度为 2 一个 ．
小轴长度为 2 b ．
中心与任一焦点之间的距离为 c 与
c 2 ＝ 一个 2 − b 2 ， 一个 > b > 0 ．
横轴为水平的双曲线 （ x − h ） 2 一个 2 − （ y − k ） 2 b 2 ＝ 1

中心是 （ h ， k ） ．
顶点之间的距离是 2 一个 ．
焦点之间的距离是 2 c ．
c 2 ＝ 一个 2 + b 2


具有垂直横轴的双曲线 （ y − k ） 2 一个 2 − （ x − h ） 2 b 2 ＝ 1

中心是 （ h ， k ） ．
顶点之间的距离是 2 一个 ．
焦点之间的距离是 2 c ．
c 2 ＝ 一个 2 + b 2


横轴抛物线

（ y − k ） 2 ＝ 4 p （ x − h ） ，

p ≠ 0

顶点是 （ h ， k ） ．
重点是 （ h + p ， k ） ．
准线是直线
x ＝ h − p
轴是直线 y ＝ k



与垂直轴的抛物线

（ x − h ） 2 ＝ 4 p （ y − k ） ，

p ≠ 0

顶点是 （ h ， k ） ．
重点是 （ h ， k + p ） ．
准线是直线
y ＝ k − p ．
轴是直线 x ＝ h



求解方程组

你一定很熟悉求解线性方程组．从几何上讲，它给出了两条或多条直线的交点。类似地，二次方程组的解会给出两个或多个二次曲线的交点。

在代数上，一个二次方程组可以用消除或替换就像在线性系统中一样。

例子:

解方程组。

x 2 + 4 y 2 ＝ 16 x 2 + y 2 ＝ 9

的系数 x 2 对两个方程都是一样的。所以，用第一个方程减去第二个方程来消去变量 x ．你会得到:

3. y 2 ＝ 7

解 y ：

3. y 2 3. ＝ 7 3. y 2 ＝ 7 3. y ＝ ± 7 3.

使用的值 y 评估 x ．

x 2 + 7 3. ＝ 9 x 2 ＝ 9 − 7 3. ＝ 20. 3. x ＝ ± 20. 3.

因此，解决方案是 （ + 20. 3. ， + 7 3. ） ， （ + 20. 3. ， − 7 3. ） ， （ − 20. 3. ， + 7 3. ） 和 （ − 20. 3. ， − 7 3. ） ．

现在，让我们从几何的角度来看它。

如果你把第一个方程两边同时除 x 2 + 4 y 2 ＝ 16 16岁的时候 x 2 16 + y 2 4 ＝ 1 ．即以原点为圆心，长轴为椭圆 4 小轴 2 ．第二个方程是一个以原点为圆心并有半径的圆 3. ．如图所示，圆和椭圆在四个不同的点相交。