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HiSET:数学:角度测量，圆心角，圆周角

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例子问题

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示例问题11:测量和几何

池的形状

给出了一个四边形，并给出了三个内角的测量值。找到x，缺失的角度测量。

可能的答案:

$33^{\circ}$

$52^{\circ}$

$94^{\circ}$

$128^{\circ}$

$228^{\circ}$

正确答案:

$128^{\circ}$

解释：

一个四边形的内角和是360度。任意多边形的内角测度之和可由下式确定:

$Sum \ of\ Interior \ Angles = 180^{\circ}(n-2)$ ,在那里是边的个数。

例如，对于一个四边形，它有四条边，你可以得到以下计算:

$Sum \ of\ Interior \ Angles = 180^{\circ}(4-2)=180^{\circ}\cdot2=360^{\circ}$

解需要建立一个代数方程，将4个角相加等于360度:

$50^{\circ}+67^{\circ}+115^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ}$

解很简单:两边同时减去3个已知角的值:

$x^{\circ}= 360^{\circ}-50^{\circ}-67^{\circ}-115^{\circ}$

$x^{\circ}=128^{\circ}$

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例子问题1:多边形和圆的性质

截获2

就是上面这个圆的圆心。计算 $m \angle AOB$ ．

可能的答案:

$135^{\circ }$

$125^{\circ }$

$130^{\circ }$

$120^{\circ }$

$140^{\circ }$

正确答案:

$135^{\circ }$

解释：

$\angle AOB$ 这个圆心角是截距的吗 $\overarc{AB}$ ,所以

$m \angle AOB = m \overarc{AB}$ ．

因此，我们需要找到 $m \overarc{AB}$ 才能得到答案。

如果顶点在圆外的角的两条边都与圆相切，则所形成的角为圆弧长度差的一半。因此,

$\frac{m \overarc{ACB} - m \overarc{AB} }{2} = m \angle AVB$

让 $x= m \overarc{AB}$ ，由于圆的总圆弧长度为360度，

$m \overarc{ACB} = 360 - x$

这也是已知的

$m \angle AVB = 45$

进行替换，求解：

$\frac{(360- x )- x }{2} =45$

$\frac{360- 2 x }{2} =45$

两边同时乘以2:

$\frac{360- 2 x }{2} \cdot 2 =45 \cdot 2$

360- 2 x = 90

两边同时减去360

360- 2 x - 360 = 90 - 360

-2x = -270

两边同时除以：

$-2x \div (-2) = -270 \div (-2)$

x = 135 ，

的测量 $\overarc{AB}$ 因此， $\angle AOB$ ．

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例子问题1:角度测量，圆心角，圆周角

上七边形

上图显示了一个规则的七边多边形，或七边形，刻在一个圆里。是人物的共同中心。

给出测量的方法 $\angle DBO$ ．

可能的答案:

$61 \frac{5}{7}^{\circ }$

$63\frac{3}{7}^{\circ }$

$64 \frac{2}{7}^{\circ }$

$65 \frac{1}{7}^{\circ }$

$62 \frac{4}{7}^{\circ }$

正确答案:

$64 \frac{2}{7}^{\circ }$

解释：

考虑下图，它增加了七边形(和圆)的一些半径:

上七边形

$\overline{OB}$ ，作为正多边形的半径，等分 $\angle EBD$ ．这个角的大小可以用公式计算

$m = \frac{180 (n-2)}{n}$ ，

在哪里 n = 7 ：

$m \angle EBD = \frac{180^{\circ } (7-2)}{7} = \frac{180^{\circ } (5)}{7} = \frac{900}{7}^{\circ } = 1 28 \frac{4}{7}^{\circ }$

因此,

$\angle DBO = \frac{1}{2} \cdot m \angle EBD = \frac{1}{2} \cdot 1 28 \frac{4}{7}^{\circ } = 64 \frac{2}{7}^{\circ }$ ，

正确的响应。

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例子问题1:多边形和圆的性质

上七边形

上图显示了一个规则的七边多边形，或七边形，刻在一个圆里。是人物的共同中心。

给出测量的方法 $\angle AOB$ ．

可能的答案:

$155 \frac{1}{7}^{\circ }$

$156 \frac{4}{7}^{\circ }$

$154 \frac{2}{7}^{\circ }$

$153 \frac{5}{7}^{\circ }$

$152 \frac{6}{7}^{\circ }$

正确答案:

$154 \frac{2}{7}^{\circ }$

解释：

检查下面的图表，它分为两个部分 $\angle AOB$ 分成三个相等的角，其中一个是 $\angle 1$ ：

上七边形

圆角:一根尺子的圆心角的度数截断多边形的一条边的-边多边形为 $\frac{360 ^{\circ }}{n}$ ；设置 n = 7 的度量。 $\angle 1$ 是

$m \angle 1 = \frac{360 ^{\circ }}{7} = 51 \frac{3}{7}^{\circ }$ ． $\angle AOC$ 测量是这个的三倍;也就是说,

$m \angle AOC = 3 \times51 \frac{3}{7}^{\circ } = 154 \frac{2}{7}^{\circ }$

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例子问题1:多边形和圆的性质

上七边形

上图显示了一个规则的七边多边形，或七边形，刻在一个圆里。是人物的共同中心。

给出测量的方法 $\angle AOC$ ．

可能的答案:

$101 \frac{3}{7}^{\circ }$

$104 \frac{2}{7}^{\circ }$

$102 \frac{6}{7}^{\circ }$

$103 \frac{5}{7}^{\circ }$

$105 \frac{1}{7}^{\circ }$

正确答案:

$102 \frac{6}{7}^{\circ }$

解释：

检查下面的图表，它分为两个部分 $\angle AOC$ 分成两个相等的角，其中一个是 $\angle 1$ ：

上七边形

圆角:一根尺子的圆心角的度数截断多边形的一条边的-边多边形为 $\frac{360 ^{\circ }}{n}$ ；设置 n = 7 的度量。 $\angle 1$ 是

$m \angle 1 = \frac{360 ^{\circ }}{7} = 51 \frac{3}{7}^{\circ }$ ． $\angle AOC$ 尺寸是这个的两倍;也就是说,

$m \angle AOC = 2 \times51 \frac{3}{7}^{\circ } = 102 \frac{6}{7}^{\circ }$

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例子问题1:角度测量，圆心角，圆周角

上九边形

上图显示了一个正十边多边形，或十边形，刻在一个圆里。是人物的共同中心。

给出测量的方法 $\angle AOB$ ．

可能的答案:

$72^{\circ }$

$75^{\circ }$

$80^{\circ }$

$76^{\circ }$

$84^{\circ }$

正确答案:

$72^{\circ }$

解释：

检查下面的图表，它分为两个部分 $\angle AOB$ 分成两个相等的角，其中一个是 $\angle 1$ ：

上九边形

圆角:一根尺子的圆心角的度数截断多边形的一条边的-边多边形为 $\frac{360 ^{\circ }}{n}$ ；设置 n = 10 的度量。 $\angle 1$ 是

$m \angle 1 = \frac{360 ^{\circ }}{10} =36^{\circ }$ ． $\angle AOB$ 尺寸是这个的两倍;也就是说,

$m \angle AOB = 2 \times 36 ^{\circ } = 72 ^{\circ }$ ．

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例子问题1:多边形和圆的性质

上九边形

上图显示了一个正十边多边形，或十边形，刻在一个圆里。是人物的共同中心。

给出测量的方法 $\angle OBC$ ．

可能的答案:

$42^{\circ }$

$45^{\circ }$

$36 ^{\circ }$

$32^{\circ }$

$40^{\circ }$

正确答案:

$36 ^{\circ }$

解释：

考虑到三角形 $\bigtriangleup OBC$ ．自 $\overline{OB}$ 而且 $\overline{OC}$ 是半径，它们是相等的，根据等腰三角形定理， $m \angle OBC = m \angle OCB$ ．

现在，检查下图，它分为两个部分 $\angle BOC$ 分成三个相等的角，其中一个是 $\angle 1$ ：

上九边形

圆角:一根尺子的圆心角的度数截断多边形的一条边的-边多边形为 $\frac{360 ^{\circ }}{n}$ ；设置 n = 10 的度量。 $\angle 1$ 是

$m \angle 1 = \frac{360 ^{\circ }}{10} =36^{\circ }$ ． $\angle BOC$ 测量是这个的三倍;也就是说,

$m \angle BOC = 3 \times 36 ^{\circ } = 108 ^{\circ }$ ．

三角形内角的度数 $108^{\circ }$ ,所以

$m \angle OCB + m \angle OBC+m \angle BOC = 180$

用108代替 $\angle BOC$ 而且 $m \angle OBC$ 为 $m \angle OCB$ ：

$m \angle OBC+ m \angle OBC+108 = 180$

$2 m \angle OBC+108 = 180$

$2 m \angle OBC+108- 108 = 180- 108$

$2 m \angle OBC=72$

$2 m \angle OBC \div 2 =72 \div 2$

$m \angle OBC= 36$

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示例问题11:测量和几何

上九边形

上图显示了一个正十边多边形，或十边形，刻在一个圆里。是人物的共同中心。

给出测量的方法 $\angle CBE$ ．

可能的答案:

$42^{\circ }$

$32^{\circ }$

$30^{\circ }$

$40^{\circ }$

$36^{\circ }$

正确答案:

$36^{\circ }$

解释：

通过对称，可以看出四边形 BCDE 是这样的梯形吗 $\overline{BC} || \overline{DE }$ ．根据同边内角定理， $\angle CBE$ 而且 $\angle DEB$ 是补的，也就是说，

$m \angle CBE +\angle DEB = 180$ ．

的测量 $\angle DEB$ 能用这个公式计算吗

$m = \frac{180 (n-2)}{n}$ ，

在哪里 n = 10 ：

$m \angle DEB= \frac{180^{\circ } (10-2)}{10} = \frac{180^{\circ } (8)}{10} = \frac{1,440}{10}^{\circ } =144 ^{\circ }$

替换:

$m \angle CBE +144= 180$

$m \angle CBE +144 - 144 = 180 - 144$

$m \angle CBE = 36$

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例子问题1:角度测量，圆心角，圆周角

如果两个角互为补角，一个角测量 $95^{\circ}$ 第二个角的度数是多少?

可能的答案:

$90^{\circ}$

$95^{\circ}$

$80^{\circ}$

$85^{\circ}$

正确答案:

$85^{\circ}$

解释：

第一步:定义补角。补角是两个角的和是 $180^{\circ}$ ．

第二步:用两个角之和的最大值减去给定的角，求出另一个角。

所以, $180^{\circ}-95^{\circ}=85^\circ$

缺失的角度(或第二个角度)是 $85^{\circ}$

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例子问题1:多边形和圆的性质

$\angle 1$ 而且 $\angle 2$ 是互补的角度。

$\angle 1$ 而且 $\angle 3$ 是互补的角度。

$\angle 2 \cong \angle 4$

$m \angle 3= 112^{\circ }$

评估 $m \angle 4$ ．

可能的答案:

$68^{\circ }$

$112^{\circ }$

$90^{\circ }$

$22^{\circ }$

$158^{\circ }$

正确答案:

$22^{\circ }$

解释：

$\angle 1$ 而且 $\angle 3$ 是补角，根据定义，

$m \angle 1 + m \angle 3 = 180^{\circ }$

$m \angle 3= 112^{\circ }$ 代入并求解 $m \angle 1$ ：

$m \angle 1 + 112^{\circ } = 180^{\circ }$

$m \angle 1 + 112^{\circ } -112^{\circ } = 180^{\circ }-112^{\circ }$

$m \angle 1 = 68 ^{\circ }$

$\angle 1$ 而且 $\angle 2$ 是互补角，根据定义，

$m \angle 1 + m \angle 2 = 90^{\circ }$

代入并解 $m \angle 2$ ：

$68 ^{\circ } + m \angle 2 = 90^{\circ }$

$68 ^{\circ } + m \angle 2 - 68 ^{\circ } = 90^{\circ }-68 ^{\circ }$

$m \angle 2 =22^{\circ }$

$\angle 2 \cong \angle 4$ 也就是说，角的度数是相同的。因此,

$m \angle 4 =22^{\circ }$ ．

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