例子问题
问题71:积分
考虑到功能
求函数在区间上的最小值.
求函数的潜在极小值,求函数的一阶导数使用幂法则。
设导数为0:
我们解决了获得然后将0.5代入原函数,得到的答案
我们可以再检查一下用二阶导数检验确实是最小值吗
这意味着函数是上凹的,所以我们找到的点是最小值。
例子问题1:如何找到最大值
的局部最大值是多少当?
没有局部最大值。
为了找到最大值,我们需要看一阶导数。
为了求一阶导数,我们可以用幂法则。为了做到这一点,我们把变量的指数降低1然后乘以原始的指数。
我们将进行治疗作为因为任何数的0次方都是1。
请注意,因为任何数乘以0都是0。
看一阶导数的时候,记住如果这个方程的输出是正的,原函数是递增的。如果导数是负的,那么函数是递减的。
请注意,从积极到消极的变化.
我们可以用二次方程求根:
因为我们要找的是负数,所以我们要做减法。
因此,最大值为.
例子问题2:如何找到最大值
的局部最大值是多少之间的而且?
这两点之间没有最大值。
为了找到最大值,我们必须找到图从递增到递减的位置。为了找出曲线从递增到递减的速率,我们观察二阶导数,看它的值何时从正变为负。
也就是说,我们将观察二阶导数,看看图在什么地方(如果有的话)穿过x轴,从正y值移动到负y值。
现在我们必须求二阶导。不幸的是,三角函数的导数必须记住。一阶导数是:
.
为了求二阶导数,我们对结果求导。
.
因此,二阶导数是.
新方程是否穿过x轴,从正移到负而且?是的。只有一次,当.因此,我们的局部极大值应该是.把这个值代回第一个方程就能得到最大值在这一点.
示例问题3:微积分I -导数
的局部极小值是多少当?
的局部极小值我们需要看一下一阶导数。
为了求一阶导数,我们可以用幂法则。幂法则表示,我们将每个变量乘以其当前指数,然后将该指数减1。
简化。
任何数的0次方都是1,所以.
因此,.
至少,我们的图会穿过设在。因此,我们需要找到根。使用二次方程:
从这里我们分成两个根,一个做加法,一个做减法:
而且
这两个根都满足吗?是的。
然后我们继续下一个问题:图在这两个根处会从负移到正吗?是的。当时,图由负变为正。
因此,局部极小值为.
示例问题4:微积分I -导数
的绝对最小值是多少?
为了找到最小值,我们需要看一阶导数。
因为是相加项,我们对每一部分分别求导。为,我们可以使用幂法则,即我们将变量乘以当前指数,然后将指数减1。对于正弦函数,我们使用三角导数法则。
记住,.
现在我们需要求导数的根。
做穿过设在吗?是的,它在.
我们的下一个问题是,“在这一点上,曲线是否从负变为正?”是的。这意味着我们的父函数在这一点上从递减变成了递增。
因此,这是最小值。
例子问题2:微积分I -导数
的局部极小值是多少当?
没有局部最小值。
局部极小值发生在图形“触底”时——它一直在下降,它减速,停止,然后开始上升。在这一点上当它从递减变为递增时,一阶导数应该从负变为正。首先求一阶导数,然后看是否成立。
求一阶导数,我们可以用幂法则。
幂法则说的是,我们将每个变量乘以它当前的指数,然后将每个变量的指数减1。
自,我们将进行治疗作为.
任何数乘以0都是0,所以最后一项,不管指数的幂是多少。
简化我们已有的。
一阶导数是.
曲线方程.什么时候从负向正?的确是的。因此,这个零点就是最小值。
当0出现时.因此原始图的最小值是.
例子问题1:确定绝对极值和局部极值
的局部极小值是多少当?
y值在这个范围内是恒定的。
在这个范围内不存在局部极小值。
为了找到最大值,我们需要看一阶导数。
为了求一阶导数,我们可以用幂法则。为了做到这一点,我们把变量的指数降低1然后乘以原始的指数。
我们将进行治疗作为因为任何数的0次方都是1。
请注意,因为任何数乘以0都是0。
看一阶导数的时候,记住如果这个方程的输出是正的,原函数是递增的。如果导数是负的,那么函数是递减的。
因为我们想知道最小值,我们想知道导数从负到正的变化。
请注意,当具有根时.事实上,它在这一点从负变为正。这是区间内的局部极小值.