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问题2:限制

评估以下限制:

$y=\lim_{x \to\frac{\pi }2{} }(sinx-cosx)^{tanx}$

可能的答案:

{e}

$\frac{\pi }{2}$

$\frac{1}{e}$

正确答案:

$\frac{1}{e}$

解释：

将方法 $1^{\infty }$ 当方法 $\frac{\pi }{2}$ ,所以 $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} (lny)$ 将是典型的 $0\cdot \infty$ 如下图所示:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} lny = \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} ln (sinx-cosx)^{tanx}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} tanx\cdot ln(sinx-cosx) = \infty \cdot 0$

我们可以应用洛必达法则

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} lny = \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} \frac{sinx \cdot ln(sinx-cosx)}{cosx}=$

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} \frac{cosx\cdot ln(sinx-cosx)+sinx\cdot (\frac{cosx+sinx}{sinx-cosx})}{-sinx}=\frac{0+1}{-1}=-1$

自:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} lny=-1$

因此:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} y=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} e^{lny}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

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万斯-格兰维尔社区学院，人文服务艺术副学士。

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