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高中数学:极限

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例子问题

例子问题1:理解极限的定义

$f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x+2}$

$\lim_{x\rightarrow -2}f(x) =$

可能的答案:

正确答案:

解释：

极限描述的是-value函数接近as趋于某个值(在本例中，)．这是最简单的方法-value一个函数的方法是替换-value代入方程。

$f(-2)=\frac{(-2)^{2}-(-2)-6}{-2+2}=\frac{4+2-6}{0}=\frac{0}{0}$

替换为给出了一个未定义的值(这与0不是一回事)。这意味着函数在这一点上没有定义。然而，仅仅因为一个函数在某一点上没有定义，并不意味着它没有极限。极限就是函数得到的值关闭出现。

求极限的一种方法是尽量简化方程:

$f(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}$

如你所见，分子和分母之间有公因式可以约掉。(记住，当你从有理数方程中约去一个因子时，这意味着函数有一个洞——一个未定义的点——这个因子等于零。)

消去公因式后，我们得到:

f(x)=x-3

即使原函数的定义域受到限制(不能平等)时，仍可代入简化方程求极限 x=-2.

f(-2)=-2-3=-5

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例子问题2:求函数的极限

让 $f(x)=\frac{1}{x}$ ．

找到 $\lim_{x\ \to \0^{-}} \frac{1}{x}$ ．

可能的答案:

$\infty$

极限不存在。

$-\infty$

正确答案:

$-\infty$

解释：

1 overx

这是一个图表 $\frac{1}{x}$ ．我们知道 $\frac{1}{0}$ 没有定义;因此，没有价值 f(0) ．但是当我们看一下图表，我们可以看到从左边趋于0， f(x) 趋于负无穷。

这可以用小的负数来说明。

f(-.1)=-10

f(-.01)=-100

注意:注意片面的限制规格，因为如果你不小心，很容易选择错误的答案。

$\lim_{x \to \0^+} \frac{1}{x}$ 实际上是无穷大，不是负无穷大。

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例子问题1:求函数的极限

计算下面的极限:

$y=\lim_{x \to\frac{\pi }2{} }(sinx-cosx)^{tanx}$

可能的答案:

$\frac{1}{e}$

{e}

$\frac{\pi }{2}$

正确答案:

$\frac{1}{e}$

解释：

将方法 $1^{\infty }$ 当方法 $\frac{\pi }{2}$ ,所以 $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} (lny)$ 将是一种类型 $0\cdot \infty$ 如下图所示:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} lny = \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} ln (sinx-cosx)^{tanx}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} tanx\cdot ln(sinx-cosx) = \infty \cdot 0$

我们可以应用洛必达法则:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} lny = \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} \frac{sinx \cdot ln(sinx-cosx)}{cosx}=$

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} \frac{cosx\cdot ln(sinx-cosx)+sinx\cdot (\frac{cosx+sinx}{sinx-cosx})}{-sinx}=\frac{0+1}{-1}=-1$

自:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} lny=-1$

因此:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} y=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}} e^{lny}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

报告错误

例子问题1:求X趋于无穷时的极限

$\textup{Find: }\lim_{x \to \infty }\frac{2x^{2}-7x}{x^{2}+3}$

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

$\textup{As } x \to\infty,\textup{all but the terms with the highest exponents become insignificant.}$

$\textup{As }x^{2} \textup{ is the highest on top and bottom, evaluate the coefficients:}} \frac{2}{1}=2$

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例子问题1:求X趋于无穷时的极限

计算 $\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( x^{2} \sin \frac{1}{ x^{2}-1} - \sin \frac{1}{ x^{2}-1} \right )$ ．

可能的答案:

$\infty$

极限不存在。

$\sin 1$

正确答案:

解释：

可以改写为:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( x^{2} \sin \frac{1}{ x^{2}-1} - \sin \frac{1}{ x^{2}-1} \right )$

$= \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( x^{2}\cdot \sin \frac{1}{ x^{2}-1} -1\cdot \sin \frac{1}{ x^{2}-1} \right )$

$= \lim_{x\rightarrow \infty }\left [\left ( x^{2}-1 \right ) \cdot \sin \frac{1}{ x^{2}-1} \right]$

$= \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{ \sin \frac{1}{ x^{2}-1} }{\frac{1}{ x^{2}-1}}$

我们可以代入 $u = \frac{1}{ x^{2}-1}$ ，并指出 $x\rightarrow \infty$ ， $u \rightarrow 0$ ：

$= \lim_{u\rightarrow 0} \frac{ \sin u }{u} = 1$ ，这是正确的选择。

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例子问题3:求X趋于无穷时的极限

在高速公路上行驶的汽车的速度由以下时间函数给出:

v(t) = 5t^2+2t

在很长一段时间后，你对汽车的速度有什么看法趋于无穷时)?

可能的答案:

汽车的速度接近无穷大。

汽车的速度趋于常数。

从给定的函数中不能得出任何结论。

汽车的速度取决于启动速度。

汽车的速度接近于零。

正确答案:

汽车的速度接近无穷大。

解释：

给出的函数是一个带项的多项式 t^n ，以致于大于1。

在这种情况下，我们可以说整个函数在极限处发散(接近无穷)趋向于无穷。

这告诉我们，给定的函数不是一个非常现实的描述汽车的速度！

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