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高中数学:用代换法求积分

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例子问题

问题61:渐近和无界行为

确定不定积分:

$\dpi{120}\int\frac{\sqrt{\log_{10} x}}{x}\; \; dx$

可能的答案:

$\frac{ 2 \sqrt{ \log_{10} x} \cdot \ln x} {3 } + C$

$\frac{ 2 \sqrt{ \log_{10} x} \cdot \log_{10} x} {3 } + C$

$\frac{ 2 \sqrt{ \log_{10} x} } {3 \ln x} + C$

$\frac{ 2 \log_{10} x} {3 } + C$

$\frac{ 2 \sqrt{ \log_{10} x} } {3 } + C$

正确答案:

$\frac{ 2 \sqrt{ \log_{10} x} \cdot \ln x} {3 } + C$

解释：

$\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ ，所以可以写成

$\dpi{120}\int\frac{\sqrt{\log_{10} x}}{x}\; \; dx$

$\dpi{120}=\int\frac{\sqrt{\ln x}}{x \sqrt{\ln 10} }\; \; dx$

$\dpi{120}= \frac{1}{\sqrt{\ln 10}}\int\frac{\sqrt{\ln x}}{x }\; \; dx$

集 $u = \ln x$ ．然后

$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln x = \frac{1}{x}$

而且

$du = \frac{dx}{x}$

替代:

$\dpi{120} \frac{1}{\sqrt{\ln 10}}\int\frac{\sqrt{\ln x}}{x }\; \; dx$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{\ln 10}} \int\sqrt{u} \; du$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{\ln 10}} \int u ^{\frac{1}{2}} \; du$

$\dpi{120} = \frac{1}{\sqrt{\ln 10}} \left (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2}}} + C \right )$

$\dpi{120} = \frac{1}{\sqrt{\ln 10}} \left (\frac{ 2u \sqrt{u}} {3} + C \right )$

外部因子可以被吸收到常数中，我们可以代回:

$\dpi{120} = \frac{1}{\sqrt{\ln 10}} \left (\frac{ 2 \ln x \cdot \sqrt{ \ln x}} {3} \right )+ C$

$= \frac{ 2 \sqrt{ \ln x} \cdot \ln x} {3 \cdot \sqrt{\ln 10}} + C$

$= \frac{ 2 \sqrt{ \log_{10} x} \cdot \ln x} {3 } + C$

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例子问题1:用代换求积分

评估:

$\dpi{120}\int_{1}^{e^{ 3}}\frac{\sqrt{\ln x}}{x}\; \; dx$

可能的答案:

$\frac{2}{3}$

$2 \ln 3$

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$2\sqrt{3}$

$2 \sqrt{\ln 3}$

正确答案:

$2\sqrt{3}$

解释：

集 $u = \ln x$ ．然后

$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln x = \frac{1}{x}$

而且

$du = \frac{dx}{x}$

而且,由于 $u = \ln x$ ，积分的极限变为 $\ln e^{3} = 3$ 而且 $\ln 1= 0$ ．

替代:

$\dpi{120}\int_{1}^{e^{ 3}}\frac{\sqrt{\ln x}}{x}\; \; dx$

$\dpi{120} = \int_{0}^{3}\sqrt{u} \; du$

$= \int_{0}^{3} u ^{\frac{1}{2}} \; du$

$\dpi{150} = \left.\begin{matrix} \frac{u^{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2}}} & \\ & \end{matrix}\right|$ $\begin{matrix} 3\\ \\ 0 \end{matrix}$

$\dpi{150} = \left.\begin{matrix} \\ \frac{ 2u \sqrt{u}} {3} & \\ & \end{matrix}\right|$ $\begin{matrix} 3\\ \\ 0 \end{matrix}$

$=\frac{ 2\cdot 3\cdot \sqrt{3}} {3} - \frac{ 2\cdot 0\cdot \sqrt{0}} {3} =2\sqrt{3}$

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例子问题2:用代换求积分

确定不定积分:

$\dpi{120} \int\cos x \sqrt{\sin x }\; \; dx$

可能的答案:

$\frac{ 2 \sin x \cdot \sqrt{\sin x }} {3} +C$

$\dpi{120} \dpi{120} \frac{ 2 \cos x \cdot \sqrt{\cos x }} {3} +C$

$\dpi{120} \frac{ 2 \sqrt{\sin x }} {3} +C$

$\dpi{120} \dpi{120} \frac{ 2 \sqrt{\cos x }} {3} +C$

$\dpi{120} \frac{ 2 \sin x \cdot \sqrt{\cos x }} {3} +C$

正确答案:

$\frac{ 2 \sin x \cdot \sqrt{\sin x }} {3} +C$

解释：

集 $u = \sin x$ ．然后

$\frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin x= \cos x$ ．

而且

$\cos x \; dx = du$

积分就变成:

$\dpi{120} \int\cos x \sqrt{\sin x }\; \; dx$

$\dpi{120} =\int \sqrt{u }\; \; du$

$= \int u ^{\frac{1}{2}} \; du$

$\dpi{120} \dpi{150} = \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{{\frac{1}{2}+1}} + C$

$\dpi{150} = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2}}} + C$

$\dpi{120} =\frac{ 2u \sqrt{u}} {3} +C$

替代:

$\dpi{120} =\frac{ 2 \sin x \cdot \sqrt{\sin x }} {3} +C$

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问题61:积分

$\int_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{1-x}dx=$

可能的答案:

$-2+\ln\frac{2}{3}$

$-2+\ln\frac{9}{4}$

$\tan^{-1}(3)-\tan^{-1}(4)$

$-2+\ln\frac{3}{2}$

$1+\tan^{-1}(3)-\tan^{-1}(2)$

正确答案:

$-2+\ln\frac{2}{3}$

解释：

这个积分需要u替换。

让 $u=\sqrt{x}$ ．

然后两边求导， $du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ ．

我们需要解出dx来把所有的x项替换成u项。

$dx=(2\sqrt{x})du$ ．

$\int\frac{\sqrt{x}}{1-x}\cdot(2\sqrt{x})du=\int\frac{2xdu}{1-x}$

这有点棘手，因为我们仍然把x和u混合在一起。我们需要回到最初的替换。

$u=\sqrt{x}\Rightarrow x=u^2$

$\int\frac{2xdu}{1-x}=\int\frac{2u^2 du}{1-u^2}$

现在我们有了一个更容易处理的积分。首先，我们不能忘记定积分的边界。我们被要求求积分 x=4 来 x=9 ．因为 $u=\sqrt{x}$ 时，积分限变为 $\sqrt{4}=2$ 而且 $\sqrt{9}=3$ ．

本质上，我们做了以下转换:

$\int_{4}^{9}\frac{\sqrt{x}}{1-x}dx=\int_{2}^{3}\frac{2u^2}{1-u^2}du$ ．

后一个积分更容易求。

$\int_{2}^{3}\frac{2u^2}{1-u^2}du=-2\int_{2}^{3}\frac{-u^2}{1-u^2}du$

$=-2\int_{2}^{3}\frac{1-u^2-1}{1-u^2}du=-2\int_{2}^{3}\left ( \frac{1-u^2}{1-u^2}+\frac{-1}{1-u^2} \right )du$

$=-2\int_{2}^{3}\left ( 1-\frac{1}{1-u^2}\right )du$

在这一点上，我们可以把积分分成两个更小的积分。

$-2\int_{2}^{3}\left ( 1-\frac{1}{1-u^2}\right )du=-2\int_{2}^{3}1\cdot du+2\int_{2}^{3}\frac{1}{1-u^2}du$ ．

积分 $-2\int_{2}^{3}1\cdot du$ 结果是-2，现在我们只需要考虑另一个积分。这将需要使用部分分式分解。我们需要重写 $\frac{1}{1-u^2}$ 是两个分数的和。

$\frac{1}{1-u^2}=\frac{1}{(1-u)(1+u)}=\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}$

我们需要解出A和B的值。

$\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}=\frac{1}{(1-u)(1+u)}$

A(1+u)+B(1-u)=1=0u+1

A+Au+B-Bu=0u+1

Au-Bu+A+B=0u+1

(A-B)u+(A+B)=0u+1

这意味着 A-B=0 而且 A+B=1 ．这是一个相对简单的方程组，所以我就不详细讲了。最终的结果是 $A=B=\frac{1}2{}$ ．

$\frac{1}{1-u^2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-u}+\frac{\frac{1}{2}}{1+u}$

现在我们回到积分上 $2\int_{2}^{3}\frac{1}{1-u^2}du$ ．

$2\int_{2}^{3}\frac{1}{1-u^2}du=2\int_{2}^{3}\left ( \frac{\frac{1}{2}}{1-u}+\frac{\frac{1}{2}}{1+u} \right )du$

把2分配到两个积分中然后把它分成两个积分。

$=\int_{2}^{3}\frac{1}{1-u}du + \int_{2}^{3}\frac{1}{1+u}du$

$=-\ln|1-u| ]_{2}^{3} + \ln|1+u|]_{2}^{3}$

$=-\ln|-2|+\ln|-1|+\ln4-\ln3$

$=-\ln2+\ln1+\ln4-\ln3$

$=\ln\frac{2}{3}$ ．

记住，我们需要把这个值加回 $-2\int_{2}^{3}1\cdot du$ ，我们已经确定为-2。

最后的答案是 $-2+\ln\frac{2}{3}$ ．

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例子问题121:渐近和无界行为

评估:

$\dpi{120} \int_{0}^{\frac{\pi }{ 2}}\sin x \sqrt{\cos x }\; \; dx$

可能的答案:

$\frac{ 2} {3}$

$\frac{4}{3}$

正确答案:

$\frac{ 2} {3}$

解释：

集 $u = \cos x$ ．

然后 $\frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos x= -\sin x$ 而且 $\sin x \; dx = - du$ ．

而且,由于 $u = \cos x$ ，积分的极限变为 $\cos \frac{\pi }{2} = 0$ 而且 $\cos 0 = 1$ ．

替代:

$\dpi{120} \int_{0}^{\frac{\pi }{ 2}}\sin x \sqrt{\cos x }\; \; dx$

$= \int_{1}^{0} \left (- \sqrt{u} \right ) \; du$

$= \int_{1}^{0} \left (-u ^{\frac{1}{2}} \right ) \; du$

$= \int_{0}^{1} u ^{\frac{1}{2}} \; du$

$\dpi{150} = \left.\begin{matrix} \frac{u^{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2}}} & \\ & \end{matrix}\right|$ $\begin{matrix} 1\\ \\ 0 \end{matrix}$

$\dpi{150} = \left.\begin{matrix} \\ \frac{ 2u \sqrt{u}} {3} & \\ & \end{matrix}\right|$ $\begin{matrix} 1\\ \\ 0 \end{matrix}$

$=\frac{ 2\cdot 1\cdot \sqrt{1}} {3} - \frac{ 2\cdot 0\cdot \sqrt{0}} {3} = \frac{ 2} {3}$

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