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《高中数学:求积分

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例子问题

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例子问题1:积分

评估:

$\int_{1}^{e^{100}} \frac{1}{x}dx$

可能的答案:

$\ln 100$

100e

$\frac{100}{e}$

100

$\frac{1}{100}$

正确答案:

100

解释：

$\int_{1}^{e^{100}} \frac{dx}{x} = \ln e^{100} - \ln 1 = 100-0 = 100$

报告错误

例子问题1:发现积分

找到 $\int_{0}^{\pi} (\cos^{2}x+\sin^{2}x)dx$

可能的答案:

$\pi$

$2\pi$

正确答案:

$\pi$

解释：

认识到这一点最容易解决这个问题 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ ．

报告错误

例子问题3:求定积分

$\int_{\pi}^{2\pi}\sin(2x){\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\pi$

正确答案:

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

因为我们的 $f(x)=\sin(2x)$ 我们不能用幂定则。相反，我们最终得到:

$\int f(x){\mathrm{d} x}=\int \sin(2x){\mathrm{d} x}=\frac{-\cos(2x)}{2}+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{-\cos(2b)}{2}+c)-(\frac{-\cos(2a)}{2}+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{\pi}^{2\pi}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{-\cos(4\pi)}{2})-(\frac{-\cos(2\pi)}{2})$

$\int_{\pi}^{2\pi}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{-1}{2})-(\frac{-1}{2})$

$\int_{\pi}^{2\pi}f(x){\mathrm{d} x}=0$

报告错误

例子问题1:求定积分

$\int_{2}^{4}x^2{\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

$11\tfrac{3}{4}$

$18\frac{2}{3}$

$5\tfrac{1}{2}$

$28\tfrac{2}{3}$

$22\tfrac{1}{3}$

正确答案:

$18\frac{2}{3}$

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

因为我们的 f(x)=x^2 ，我们可以用逆幂法则求出函数的不定积分或不定积分:

$\int (x^2){\mathrm{d} x}=\frac{1}{3}x^3+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{1}{3}b^3+c)-(\frac{1}{3}a^3+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{2}^{4}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{1}{3}\cdot 4^3)-(\frac{1}{3}\cdot 8^3)$

$\int_{2}^{4}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{64}{3})-(\frac{8}{3})$

$\int_{2}^{4}f(x){\mathrm{d} x}=\frac{56}{3}=18\frac{2}{3}$

报告错误

问题42:比较函数的相对大小及其变化率

$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}{\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

1.2

0.75

0.30

0.69

0.81

正确答案:

0.69

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

事实证明，自从我们 $f(x)=\frac{1}{x}$ 幂法则对我们没有帮助。 $\frac{1}{x}$ 有一个特殊的不定积分: $\ln{x}$ ．

$\int \frac{1}{x}{\mathrm{d} x}=\ln{x}+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(\ln{b}+c)-(\ln{a}+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{1}^{2}f(x){\mathrm{d} x}=(\ln(2))-(\ln(1))$

$\int_{1}^{2}f(x){\mathrm{d} x}=(\ln(2))-(0)$

$\int_{1}^{2}f(x){\mathrm{d} x}\approx 0.69$

报告错误

例子问题1:求定积分

$\int_{3}^{40}e^x{\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

$2.35\cdot 10^{19}$

$2.35\cdot 10^{9}$

$2.35\cdot 10^{17}$

$1.05\cdot 10^{17}$

$2.35\cdot 10^{15}$

正确答案:

$2.35\cdot 10^{17}$

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

事实证明，自从我们 f(x)=e^x 幂法则对我们没有帮助。 e^x 是唯一的OWN不定积分的函数。这就意味着我们还得和 e^x ．

$\int e^x{\mathrm{d} x}=e^x+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(e^b+c)-(e^a+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{3}^{40}f(x){\mathrm{d} x}=(e^{40})-(e^3)$

$\int_{3}^{40}f(x){\mathrm{d} x}=(2.35\cdot 10^{17})-(20.09)$

因为 e^3 和我们的价值比起来就这么小了吗 $e^{40}$ ，我们的答案将是 $2.35\cdot 10^{17}$

报告错误

示例问题7:求定积分

$\int_2^6(5x^2+3x+2){\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

$26\tfrac{2}{3}$

$-12\tfrac{2}{3}$

$402\tfrac{2}{3}$

$204\tfrac{2}{3}$

$401\tfrac{1}{3}$

正确答案:

$402\tfrac{2}{3}$

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

因为我们的 f(x)=5x^2+3x+2 ，我们可以对所有涉及的项使用幂法则来求不定积分:

$\int (5x^2+3x+2){\mathrm{d} x}=\frac{5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+2x+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{5}{3}b^3+\frac{3}{2}b^2+2b+c)-(\frac{5}{3}a^3+\frac{3}{2}a^2+2a+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{2}^{6}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{5}{3}(6)^3+\frac{3}{2}(6)^2+2(6))-(\frac{5}{3}(2)^3+\frac{3}{2}(2)^2+2(2))$

$\int_{2}^{6}f(x){\mathrm{d} x}=(360+54+12)-(\frac{40}{3}+6+4)$

$\int_{2}^{6}f(x){\mathrm{d} x}=(426)-(23\tfrac{1}{3})$

$\int_{2}^{6}f(x){\mathrm{d} x}=402\tfrac{2}{3}$

报告错误

例子问题1:积分

$\int_3^5\frac{x+3}{x}{\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

1.33

3.21

3.53

6.12

5.67

正确答案:

3.53

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

因为我们的 $f(x)=\frac{x+3}{x}$ 我们不能用幂定则。我们必须把商分解成不同的部分:

$f(x)=\frac{x}{x}+\frac{3}{x}=1+\frac{3}{x}$ ．

1的积分应该没有问题，但另一半就有点棘手了:

$\int\frac{3}{x}{\mathrm{d} x}$ 真的一样吗 $3\int\frac{1}{x}{\mathrm{d} x}$ ．自 $\int\frac{1}{x}{\mathrm{d} x}=\ln{x}$ ， $\int\frac{3}{x}{\mathrm{d} x}=3\ln{x}$ ．

因此:

$\int\frac{x+3}{x}{\mathrm{d} x}=x+3\ln{x}+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(b+3\ln{b}+c)-(a+3\ln{a}+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{3}^{5}f(x){\mathrm{d} x}=(5+3\ln{5})-(3+3\ln{3})$

$\int_{3}^{5}f(x){\mathrm{d} x}=(9.83)-(6.30)$

$\int_{3}^{5}f(x){\mathrm{d} x}\approx 3.53$

报告错误

问题9:求定积分

$\int_2^5\sqrt{x}\text{ }{\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

9.34

1.89

5.56

7.52

2.59

正确答案:

5.56

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

因为我们的 $f(x)=\sqrt{x}$ ，我们可以使用幂法则，如果我们把它变成一个指数:

$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

这意味着:

$\int f(x){\mathrm{d} x}=\int x^\frac{1}{2}{\mathrm{d} x}=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

现在我们可以把这个方程代入我们的FToC方程:

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}+c)-(\frac{2}{3}a^\frac{3}{2}+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{2}^{5}f(x){\mathrm{d} x}=(\frac{2}{3}(5)^\frac{3}{2})-(\frac{2}{3}(2)^\frac{3}{2})$

$\int_{2}^{5}f(x){\mathrm{d} x}\approx(7.45)-(1.89)$

$\int_{2}^{5}f(x){\mathrm{d} x}\approx5.56$

报告错误

例子问题10:求定积分

$\int_{12}^{15}\ln(x){\mathrm{d} x}=?$

可能的答案:

71.12

10.8

3.9

8.7

7.8

正确答案:

7.8

解释：

记住微积分基本定理!

$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=\int f(b){\mathrm{d} x}-\int f(a){\mathrm{d} x}$

因为我们的 $f(x)=\ln(x)$ ，我们不能用幂法则，因为它有一个特殊的不定积分:

$\int f(x){\mathrm{d} x}=\int \ln(x){\mathrm{d} x}=x\ln(x)-x+c$

记得要包括 + c 对于任何不定积分或积分!

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$\int_{a}^{b}f(x){\mathrm{d} x}=(b\ln(b)-b+c)-(a\ln(a)-a+c)$

注意c约掉了。代入给定的a和b值并求解:

$\int_{12}^{15}f(x){\mathrm{d} x}=(15\ln(15)-15)-(12\ln(12)-12)$

$\int_{12}^{15}f(x){\mathrm{d} x}\approx(25.62)-(17.82)$

$\int_{12}^{15}f(x){\mathrm{d} x}\approx7.8$

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