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GRE科目考试:数学:复数共轭

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例子问题

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例子问题1:复杂的轭合物

评估 $\small \frac{-6+2i}{10-3i}$

可能的答案:

$\small \small \frac{-66+2i}{91-60i}$

$\small \frac{-54+38i}{109}$

$\small \frac{-66+2i}{109}$

不能除以复数

$\small \small \frac{-54+38i}{91-60i}$

正确答案:

$\small \frac{-66+2i}{109}$

解释：

要除以一个复数，我们必须变换表达式，用它乘以分母对自身的共轭复数。在这个问题中， $\small 10-3i$ 是我们的分母，所以我们要把表达式乘以 $\small \frac{10+3i}{10+3i}$ 获得:

$\small \frac{-6+2i}{10-3i}\frac{10+3i}{10+3i}=\frac{-60+20i-18i+6i^2}{100-30i+30i-9i^2}$ ．

然后我们可以合并类似的项，重写所有 $\small i^2$ 任 $\small -1$ ．因此，表达式变成:

$\small \frac{-60+2i+6i^2}{100-9i^2}=\frac{-66+2i}{109}$

我们最终的答案是“因此” $\small \frac{-66+2i}{109}$

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例子问题2:复杂的轭合物

简化:

$\frac{5-2i}{4-i}$

可能的答案:

$\frac{22-3i}{17}$

18-9i

6+3i

$\frac{5i+6}{6}$

正确答案:

$\frac{22-3i}{17}$

解释：

为了消去分数，分子分母同时乘以分母的共轭。

$\frac{5-2i}{4-i}\left(\frac{4+i}{4+i}\right)$

现在，乘和化简。

$\frac{5-2i}{4-i}\left(\frac{4+i}{4+i}\right)=\frac{20+5i-8i-2i^2}{16-i^2}$

记住, i^2=-1

$\frac{20+5i-8i-2i^2}{16-i^2}=\frac{20-3i-2(-1)}{16-(-1)}=\frac{22-3i}{17}$

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示例问题3:复杂的轭合物

简化:

$\frac{8-3i}{2-i}$

可能的答案:

$\frac{19+2i}{5}$

10-7i

$\frac{7+2i}{3}$

3i+6

正确答案:

$\frac{19+2i}{5}$

解释：

为了消去分数，分子分母同时乘以分母的共轭。

$\frac{8-3i}{2-i}\left(\frac{2+i}{2+i}\right)$

现在，乘和化简。

$\frac{8-3i}{2-i}\left(\frac{2+i}{2+i}\right)=\frac{16+8i-6i-3i^2}{4-i^2}$

记住, i^2=-1

$\frac{16+8i-6i-3i^2}{4-i^2}=\frac{16+2i-3(-1)}{4-(-1)}=\frac{19+2i}{5}$

报告错误

例子问题1:复数

分: $\frac{2-i}{3+2i}$

答案必须是标准形式的。

可能的答案:

$\frac{2}{3}i$

$\frac{2}{3}-\frac{1}{2}i$

$\frac{1}{5i}$

$\frac{4}{13}-\frac{7i}{13}$

正确答案:

$\frac{4}{13}-\frac{7i}{13}$

解释：

分子和分母同时乘以分母的共轭也就是 3-2i 结果是

$\frac{\left ( 2-i \right )\left ( 3-2i \right )}{\left ( 3+2i \right )\left ( 3-2i \right )}$

化简后的分子 $6-4i-3i+2i^{2}=6-7i+2i^{2}=4-7i$

分母等于 $3^{2}-4i^{2}=9+4=13$

因此，最终答案的标准形式是=

$\frac{4}{13}-\frac{7i}{13}$

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例子问题1:复杂的轭合物

$What\ is\ the\ complex\ conjugate\ for\ 3-i\sqrt{7}?$

可能的答案:

$-i\sqrt{7}$

$-3-i\sqrt{7}$

$i\sqrt{7}$

$3+i\sqrt{7}$

正确答案:

$3+i\sqrt{7}$

解释：

复数共轭的定义是两个复数的实部相同，复部符号相反。

$In\ this\ case\ we\ have\ 3-i\sqrt{7}$

$to\ find\ its'\ complex\ conjugate\ we\ change\ the\ sign\ of\ the\ complex\ part$

$The\ complex\ conjugate\ is: 3+i\sqrt{7}$

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示例问题6:复杂的轭合物

下面哪个是它的共轭复数 (3+4i) ?

可能的答案:

(3-4i)^3

(3+4i)^2

(3-4i)

正确答案:

(3-4i)

解释：

复方程的复共轭 $(a+bi), \{a,b\}\in \mathbb {R}$ 是 (a-bi) ．

复共轭乘以原表达式也会得到实解。

的共轭复数 (3+4i) 是 (3-4i)

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示例问题7:复杂的轭合物

简化 $\frac{14i+4}{7i-2}$

可能的答案:

$\frac{42i+99}{61}$

$\frac{3i-13}{9}$

$\frac{20i-23}{24}$

$\frac{-91i+12}{15}$

$\frac{-90+56i}{-53}$

正确答案:

$\frac{-90+56i}{-53}$

解释：

$\frac{14i+4}{7i-2}$

在这样的问题中，我们期望通过将i从分母中去除来化简。要做到这一点，将分子和分母乘以分母的共轭(将两项之间的符号从正号换成负号，或者反过来)除以自身。对自身的共轭等于1，并且不改变表达式的值(任何数字乘以1仍然是那个数字)。乘以共轭是消去i的唯一方法，因为当我们折叠时，中间项就不存在了。

$\frac{14i+4}{7i-2}\cdot \frac{7i+2}{7i+2}$

$\frac{(14i+4)(7i+2)}{(7i-2)(7i+2)}$

$\frac{98i^{2}+28i+28i+8}{49i^{2}-4}$

将i方化简为-1，然后合并

$\frac{98(-1)+28i+28i+8}{49(-1)-4}$

$\frac{-98+28i+28i+8}{-49-4}$

$\frac{-90+56i}{-53}$

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示例问题8:复杂的轭合物

简化 $\frac{2+11i}{3-4i}$

可能的答案:

$\frac{-9i-28}{11}$

$\frac{-38+41i}{25}$

$\frac{30i+12}{15}$

$\frac{17+21i}{19}$

$\frac{53i+8}{15}$

正确答案:

$\frac{-38+41i}{25}$

解释：

$\frac{2+11i}{3-4i}$

$\frac{2+11i}{3-4i}\cdot \frac{3+4i}{3+4i}$

$\frac{(2+11i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}$

$\frac{6+33i+8i+44i^{2}}{9-16i^{2}}$

化简i方为-1，然后合并

$\frac{6+33i+8i+44(-1)}{9-16(-1)}$

$\frac{6+33i+8i-44}{9+16}$

$\frac{-38+41i}{25}$

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例子问题1:复杂的轭合物

简化 $\frac{7i}{-5+4i}$

可能的答案:

$\frac{83i+46}{25}$

$\frac{-11i-24}{9}$

$\frac{-35i+28}{41}$

$\frac{22i-14}{17}$

$\frac{42i-17}{45}$

正确答案:

$\frac{-35i+28}{41}$

解释：

$\frac{7i}{-5+4i}$

$\frac{7i}{-5+4i}\cdot \frac{-5-4i}{-5-4i}$

$\frac{7i(-5-4i)}{(-5+4i)(-5-4i)}$

$\frac{-35i-28i^{2}}{25-16i^{2}}$

化简i方为-1，然后合并

$\frac{-35i-28(-1)}{25-16(-1)}$

$\frac{-35i+28}{25+16}$

$\frac{-35i+28}{41}$

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示例问题10:复杂的轭合物

简化 $\frac{8i-2}{4i+6}$

可能的答案:

$\frac{-5-14i}{-13}$

$\frac{-20-56i}{-52}$

$\frac{-16i-19}{13}$

$\frac{32i+19}{34}$

$\frac{-63i+14}{12}$

正确答案:

$\frac{-5-14i}{-13}$

解释：

$\frac{8i-2}{4i+6}$

$\frac{8i-2}{4i+6}\cdot \frac{4i-6}{4i-6}$

$\frac{(8i-2)(4i-6)}{(4i+6)(4i-6)}$

$\frac{32i^{2}-8i-48i+12}{16i^{2}-36}$

化简i方为-1，然后合并

$\frac{32(-1)-8i-48i+12}{16(-1)-36}$

$\frac{-32-8i-48i+12}{-16-36}$

$\frac{-20-56i}{-52}$

所有项的系数都可以除以4，所以每一项都约掉

$\frac{-5-14i}{-13}$

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