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GRE科目考试:数学:虚数与复函数

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例子问题

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示例问题6:数论

评估:

$\left (2 + 3i \right )^{3}$

可能的答案:

-62 + 63 i

-4 6+ 9i

-46 + 63 i

8 + 9i

8 - 27i

正确答案:

-4 6+ 9i

解释：

我们可以设置 A = 2, B = 3i 在二项式模式的立方中:

$\left ( A + B\right ) ^{3} = A ^{3} + 3 A^{2 }B + 3AB^{2} + B^{3}$

$= 2 ^{3} + 3 \cdot 2 ^{2 } \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^{2} + (3i)^{3}$

$= 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot 3 ^{2}\cdot i^{2} + 3^{3} \cdot i^{3}$

$= 8 + 36i + 54 i^{2} + 27 i^{3}$

= 8 + 36i + 54 (-1) + 27 (-i)

= 8 + 36i - 54 - 27 i

= -46 + 9i

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例子问题1:复杂的虚数

简化以下产品:

{} (5+3i)(-2+i)

可能的答案:

{} -13+11i

{} -10+3i

{}-7-i

{} -13-i

正确答案:

{} -13-i

解释：

用典型的方法把这些复数乘出来:

${}(5+3i)(-2+i) = -10+5i-6i+3i^2$

和回忆, i^2=-1 通过定义。然后，像我们得到的那样分组

{} (-10-3)+(5i-6i) = -13-i

这就是最终答案。

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例子问题1:虚数与复函数

简化:

(5+8i)(6-2i)

可能的答案:

16+32i

25+8i

7+16i

46+38i

正确答案:

46+38i

解释：

从使用FOIL开始。这意味着把第一项相乘然后是外部项然后是内部项最后是最后一项。

(5+8i)(6-2i)=30-10i+48i-16i^2

记住, $i=\sqrt-1$ ,所以 i^2=-1 ．

代入为 i^2

30-10i+48i-16i^2=30+38i-16(-1)=30+38i+16=46+38i

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例子问题1:负数的虚根

简化:

(2+5i)(-8-i)

可能的答案:

-18-5i

42+11i

-11-42i

12+6i

正确答案:

-11-42i

解释：

从使用FOIL开始。这意味着把第一项相乘然后是外部项然后是内部项最后是最后一项。

(2+5i)(-8-i)=-16-2i-40i-5i^2

记住, $i=\sqrt-1$ ,所以 i^2=-1 ．

代入为 i^2

-16-2i-40i-5i^2=-16-42i-5(-1)=-16+5-42i=-11-42i

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例子问题1:虚数与复函数

简化:

(2+6i)(5+3i)

可能的答案:

-36-8i

-8+36i

36-8i

12-8i

正确答案:

-8+36i

解释：

从使用FOIL开始。这意味着把第一项相乘然后是外部项然后是内部项最后是最后一项。

(2+6i)(5+3i)=10+6i+30i+18i^2

记住, $i=\sqrt-1$ ,所以 i^2=-1 ．

代入为 i^2

10+6i+30i+18i^2=10+36i+18(-1)=10-18+36i=-8+36i

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例子问题1:复数方程

解出而且：

$ai^{93}+bi^{35}+ai^{24}-bi^{86}=40+20i$

可能的答案:

a=15, b=15

a=10, b=30

a=40, b=20

a=20, b=40

a=30, b=10

正确答案:

a=30, b=10

解释：

记住,

$i = \sqrt{-1}\\ i^2 = \sqrt{-1}^2 = -1\\ i^3 = i^2\cdot i = -1 \cdot i = -i\\ i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1\\ i^5 = i^4\cdot i = 1\cdot i = i = \sqrt{-1}\\ i^6 = i^4\cdot i^2 = 1\cdot i^2 = i^2 =-1$

所以循环。这意味着当我们要求的指数值时，我们可以忽略所有幂的倍数因为最终结果乘以，因此什么也不做。

这意味着

$ai^{93} + bi^{35} + ai^{24} - bi^{86}\\ = ai^{92+1} + bi^{32+3} + ai^{24+0} - bi^{84+2}\\ = ai^{92}\cdot i^1 + bi^{32}\cdot i^3 + ai^{24}\cdot i^0 - bi^{84}\cdot i^2\\ =a(i^4)^{23}\cdot i^1 + b(i^4)^8\cdot i^3 + a(i^4)^6\cdot i^0 - b(i^4)^{21}\cdot i^2\\ = a (1^{23})\cdot i + b(1^8)\cdot i^3 + a(1^6) - b(1^{21})\cdot i^2$

现在，记住指数的关系，我们可以简化为:

$ai - bi + a - (-b) = ai-bi+a+b\\ = (a+b) + (a-b)i = 40+20i$

因为左边和右边的元素必须对应(没有混合和匹配!)，我们得到的关系:

a+b=40

a-b=10

不管怎么解，都能得到值 a=30 ， b=10 ．

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例子问题1:虚数与复函数

简化: $\sqrt{-243}$

可能的答案:

$-9i\sqrt{3}$

$9i\sqrt{3}$

以上都不是

正确答案:

$9i\sqrt{3}$

解释：

第一步:拆分 $\sqrt{-243}$ 成 $\sqrt{243}\cdot\sqrt{-1}$ ．

第二步:回想一下 $\sqrt{-1}=i$ ，所以让我们替换它。

我们现在有: $\sqrt{243}\cdot i$ ．

步骤3:简化 $\sqrt{243}$ ．要做到这一点，我们看内部的数字。

$243=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$ ．

步骤4:对的进行因式分解 243 把任意一对数字提出来。对于我们找到的任何一对数字，我们只取的数字。

我们有一双 3's ,所以在根号外。
我们还有一双 3's 所以在根号外面再放一个3。

我们需要把我们带给外界的一切都成倍增加: 3*3=9

步骤5:配9…

第六步:最后一步在取出配对之后，它被重新放入平方根中然后写在

它看起来像这样: $9i\sqrt{3}$

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示例问题5:虚数与复函数

$Simplify: 5\sqrt{12i^{2}}$

可能的答案:

$10i\sqrt{}3$

$2i\sqrt{3}$

$5\sqrt{-12}$

$5i\sqrt{12}$

正确答案:

$10i\sqrt{}3$

解释：

有两种方法可以简化这个问题:

方法1:

$We\ know\ that\ i^2=-1,\ when\ we\ replace\ that\ we\ get:$

$5\sqrt{-12}$

$=5i\sqrt{12}(take\ the\ i\ out)$

$=5i\sqrt{4}\sqrt{3} (the\ perfect\ square\ 4\ will\ go\ into\ 12)$

$=10i{\sqrt{3}}\ reduce$

方法2:

$We\ know\ that\ the\ square\ root\ of\ anything\ squared\ is\ just\ itself$

$\sqrt{i^2}=i$

$5\sqrt{12i^{2}}=5i\sqrt{12}$

$=5i\sqrt{4}\sqrt{3} (the\ perfect\ square\ 4\ will\ go\ into\ 12)$

$=10i{\sqrt{3}}\ reduce$

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例子问题1:虚数与复函数

$Simplify: \sqrt{-49}-\sqrt{-16}$

可能的答案:

-11i

7-4i

4-7i

正确答案:

解释：

$First\ simplify\ each\ radical:$

$\sqrt{-49}-\sqrt{-16}=7i-4i$

$Next\ combine\ like\ terms:$

7i-4i=3i

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示例问题7:虚数与复函数

$Simplify: \sqrt{-72}$

可能的答案:

$6{\sqrt{-2}}$

$-6{\sqrt{2}}$

$-6i\sqrt{2}$

$6i{\sqrt{2}}$

正确答案:

$6i{\sqrt{2}}$

解释：

$When\ reducing\ the\ square\ root\ of\ a\ negative\ number\ -\ we\ must\ first\$

$i=\sqrt{-1}$

$\sqrt{-72}=\sqrt{-1}\sqrt{72}=i\sqrt{72}$

$Once\ we\ have\ taken\ out\ the\ i,\ then\ we\ can\ simply\ break\ down$ $the\ number\ under\ the\ radical\ by\ finding\ the\ largest\ perfect\ square\ that\ will go\ into\ it.$

$36\ will\ go\ into\ 72\ so\ we\ break\ this\ down\ to\ become:$

$i\sqrt{36}\sqrt{2}=6i\sqrt{2}$

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