GMAT数学:切线

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例子问题

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例子问题1:切线

求出与曲线相切的直线方程 y=x^2 在点 (-1,1) ?

可能的答案:

y=-2x+1

y=-2x-1

y=x-2

$y=-\frac{1}{2}x+4$

y=-x+2

正确答案:

y=-2x-1

解释：

为了求出曲线在某一点的切线方程，我们首先需要求出曲线在该点的斜率。为了求函数在任意点的斜率，我们需要它的导数:

$y=x^2\rightarrow y'=2x$

现在我们可以代入给定点的x值来求出函数的斜率，也就是该点切线的斜率

y'=2x

$y'(-1)=2(-1)=-2\rightarrow m=-2$

现在我们求出了斜率，我们可以简单地把这个值代入给定的点来求出切线的y轴截距:

y=mx+b

1=(-2)(-1)+b

b=-1

我们已经计算了切线的斜率和y轴截距，也就是曲线的切线方程 y=x^2 在点 (-1,1) 标准格式为:

y=-2x-1

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例子问题1:切线方程的计算

求出与下列曲线在该点相切的直线方程 (2,12) ．

f(x)=3x^2+4x-8

可能的答案:

y=-16x+20

y=16x+13

y=-10x+11

y=16x-20

y=10x-11

正确答案:

y=16x-20

解释：

首先我们求出切线的斜率通过对函数求导并代入求斜率点的-value:

f(x)=3x^2+4x-8

f'(x)=6x+4

f'(2)=6(2)+4=16

现在我们知道了切线的斜率，我们可以把它代入沿着给定点的坐标的直线方程，以便计算拦截:

y=mx+b

12=(16)(2)+b

b=-20

我们现在有而且，我们可以写出切线的方程:

y=16x-20

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示例问题3:切线

求出与曲线相切的直线的方程 $y=x^{2}-2x+1$ 在点 (3,4) ．

可能的答案:

y=4x-8

y=4x+8

y=4x-4

上面的方程都不是

y=4x+4

正确答案:

y=4x-8

解释：

求出与曲线相切的直线的方程 $y=x^{2}-2x+1$ 在点 (3,4) ，我们必须先求出曲线在该点的斜率 (3,4) 通过求导 y'=2x-2 在这一点上:

$y'(3)=2(3)-2=6-2=4\rightarrow m=4$

已知斜率，我们可以把给定的点和该点的斜率代入切线的斜截式中 y=mx+b 然后解出拦截：

(4)=(4)(3)+b

4=12+b

-8=b

已知斜率，选的点，和-截距，我们得到切线方程:

y=4x-8

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示例问题4:切线

求出与曲线相切的直线的方程 $y=2x^{2}+5x+2$ 在点 (2,-1) ．

可能的答案:

y=27x-13

y=13x+27

y=13x-27

y=27x+13

以上都不是

正确答案:

y=13x-27

解释：

求出与曲线相切的直线的方程 $y=2x^{2}+5x+2$ 在点 (2,-1) ，我们必须先求出曲线在该点的斜率 (2,-1) 通过求导 y'=4x+5 在这一点上:

$y'(2)=4(2)+5=8+5=13\rightarrow m=13$

已知斜率，我们可以把给定的点和该点的斜率代入切线的斜截式中 y=mx+b 然后解出拦截：

(-1)=(13)(2)+b

-1=26+b

-27=b

已知斜率，选的点，和-截距，我们得到切线方程:

y=13x-27

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例子问题1:切线方程的计算

在该点处求出与下面曲线的切线方程 (2,-7) ：

f(x)=-2x^2+9x-17

可能的答案:

y=-2x+3

y=x+9

y=x-7

y=-2x-3

y=x-9

正确答案:

y=x-9

解释：

首先对函数求导，代入给定点的x值，求出切线的斜率，求出曲线在该点处的斜率:

f(x)=-2x^2+9x-17

f'(x)=-4x+9

f'(2)=-4(2)+9=1

所以曲线在给定点处的切线斜率是 m=1 ．下一步是将这个斜率代入直线公式，加上给定点的坐标，求出切线的y轴截距值:

y=mx+b

$-7=1(2)+b\rightarrow b=-9$

现在我们知道了切线的斜率和y轴截距，所以我们可以把它的方程写成:

y=x-9

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示例问题6:切线

求出与曲线相切的直线的方程 $y=4x^{2}-3x+7$ 在点 (-2,-3) ．

可能的答案:

y=19x+41

y=19x-41

以上都不是

y=-19x+41

y=-19x-41

正确答案:

y=-19x-41

解释：

求出与曲线相切的直线的方程 $y=4x^{2}-3x+7$ 在点 (-2,-3) ，我们必须先求出曲线在该点的斜率 (-2,-3) 通过求导 y'=8x-3 在这一点上:

$y'(-2)=8(-2)-3=-16-3=-19\rightarrow m=-19$

已知斜率，我们可以把给定的点和该点的斜率代入切线的斜截式中 y=mx+b 然后解出拦截：

(-3)=(-19)(-2)+b

-3=38+b

-41=b

已知斜率，选的点，和-截距，我们得到切线方程:

y=-19x-41

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例子问题1:计算切线的斜率

求切线的斜率 f(x) 在 x=3 ．

$\small f(x)=x^2-6x+9$

可能的答案:

正确答案:

解释：

F (x)在这里给出了抛物线。将f(x)因式分解得到:

$\small f(x)=(x-3)(x-3)$

这个方程在x=3处有一个0。这也意味着x=3处有最小值。

切线的最大值或最小值的斜率总是0，所以斜率是0。

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例子问题1:计算切线的斜率

计算与下面曲线在该点的切线的斜率 (1,4) ．

f(x)=-2x^2+13x-7

可能的答案:

正确答案:

解释：

曲线在任意一点的切线斜率就是曲线在该点的斜率。为了求函数在任意点的斜率，我们求导:

f(x)=-2x^2+13x-7

f'(x)=-4x+13

现在我们可以代入给定点的x值， (1,4) ，得到曲线在该点的切线斜率:

f'(x)=-4x+13

f'(1)=-4(1)+13=9

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示例问题3:计算切线的斜率

计算曲线切线的斜率 y=3x^2-5x+7 在点 (2,15) ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

要计算切线在某一点的斜率，我们需要知道曲线在该点的斜率。为了求出曲线在任意点的斜率，我们需要计算它的导数:

y=3x^2-5x+7

y'=6x-5

导数描述了曲线在任意点的斜率，所以我们需要代入的值 (2,15) 求该点切线的斜率:

y'=6x-5

y'(2)=6(2)-5=7

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示例问题4:计算切线的斜率

计算与下面曲线相切的直线的斜率 x=1 ：

f(x)=6x^5-7x^4+2x^3

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先求出函数的导数，然后代入给定的x坐标，就得到了函数在这个位置的斜率。曲线的切线在给定位置的斜率等于函数在该位置的斜率:

f(x)=6x^5-7x^4+2x^3

f'(x)=30x^4-28x^3+6x^2

f'(1)=30(1)^4-28(1)^3+6(1)^2=8

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