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GED数学:球体的体积

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例子问题

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问题1:三维几何

水箱的形状是一个球体外半径18英尺;整个水箱有三英寸厚。这个水箱能装多少立方英尺的水?

使用3.14 $\pi$ 。

可能的答案:

$4,000 \textrm{ ft}^{3}$

$22,400 \textrm{ ft}^{3}$

$3,800 \textrm{ ft}^{3}$

$23,400 \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$23,400 \textrm{ ft}^{3}$

解释：

3英寸等于0.25英尺，所以半径室内水箱的大小是

18 - 0.25 = 17.75 的脚。

水箱容纳的水量是水箱内部的体积，也就是

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$V \approx \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 17.75^{3} \approx 23,413$ ，

也就是23400立方英尺。

问题1:三维几何

将半径为3英寸的满球形玻璃杯中的液体倒入半径为6英寸、高6英寸的空圆柱形玻璃杯中。圆柱形玻璃的百分之多少被里面的东西占据了?

可能的答案:

$12\frac{1}{2} \%$

$8\frac{1}{3} \%$

$16 \frac{2}{3} \%$

$33\frac{1}{3} \%$

正确答案:

$16 \frac{2}{3} \%$

解释：

球形玻璃的体积是

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

在哪里 r = 4 ：

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^{3}$

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 27$

$V = 36 \pi$

圆柱形玻璃的体积是

$V = \pi r^{2}h$ ，

在哪里 r = 6, h = 6 ：

$V = \pi \cdot 6^{2} \cdot 6$

$V = \pi \cdot 36 \cdot 6$

$V = 216 \pi$

球形玻璃里的东西会被吸收

$\frac{36 \pi } {216 \pi} \times 100 \% = 16 \frac{1}{6} \%$

圆柱形玻璃的容量。

问题3:三维几何

将半径为4英寸、高8英寸的满圆柱形玻璃杯中的液体倒入半径为6英寸的空球形玻璃杯中。球体玻璃的百分之多少被里面的东西占了?

可能的答案:

$88 \frac{8}{9} \%$

$66 \frac{2}{3} \%$

$44 \frac{4}{9} \%$

$100 \%$

正确答案:

$44 \frac{4}{9} \%$

解释：

圆柱形玻璃的体积是

$V = \pi r^{2}h$ ，

在哪里 r = 4, h = 8 ：

$V = \pi \cdot 4^{2} \cdot 8$

$V = \pi \cdot 16 \cdot 8$

$V = 128 \pi$

球形玻璃的体积是

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

在哪里 r = 6 ：

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^{3}$

$V = 216 \cdot \frac{4}{3} \pi$

$V = 288 \pi$

圆柱形玻璃杯里的东西会被盛满

$\frac{128 \pi} {288 \pi} \times 100 \% = 44 \frac{4}{9} \%$

球形玻璃的容量。

问题4:三维几何

求直径为5的球体的体积。

可能的答案:

$75\pi$

$200\pi$

$\frac{200}{3}\pi$

$\frac{125}{6}\pi$

$\frac{125}{3}\pi$

正确答案:

$\frac{125}{6}\pi$

解释：

写出球体体积的公式。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

代入半径，也就是直径的一半。

$r=\frac{5}{2}$

$V=\frac{4}{3}\pi (\frac{5}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{5}{2})(\frac{5}{2})(\frac{5}{2})= \frac{1}{3}\pi (\frac{5}{1})(\frac{5}{1})(\frac{5}{2})$

简化这些项。

答案是: $\frac{125}{6}\pi$

问题2:三维几何

求一个半径为5的球体的体积。

可能的答案:

$\frac{500}{3}\pi$

$\frac{1000}{3}\pi$

$\frac{250}{3}\pi$

$\frac{100}{3}\pi$

$100\pi$

正确答案:

$\frac{500}{3}\pi$

解释：

写出球体体积的公式。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

把半径代入公式。

$V=\frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{500}{3}\pi$

答案是: $\frac{500}{3}\pi$

问题6:三维几何

如果一个球体的直径是 $\sqrt[3]{5}$ 。

可能的答案:

$\frac{200}{3}\pi$

$200\pi$

$\frac{20}{3}\pi$

$20\pi$

$\textup{The answer is not given.}$

正确答案:

$\frac{20}{3}\pi$

解释：

写出球体体积的公式。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

把半径代入公式。

$V=\frac{4}{3}\pi (\sqrt[3]{5})^3$

任何立方根的值，取3的幂后，只会留下整数。

$V=\frac{4}{3}\pi (5) = \frac{20}{3}\pi$

答案是: $\frac{20}{3}\pi$

问题7:三维几何

求一个直径为3的球体的体积。

可能的答案:

$\frac{3}{2}\pi$

$\frac{9}{8}\pi$

$9\pi$

$\frac{9}{2}\pi$

$3\pi$

正确答案:

$\frac{9}{2}\pi$

解释：

假设直径是3，半径是直径的一半，或者 $\frac{3}{2}$ 。

写出圆体积的公式。

$V= \frac{4}{3} \pi r^3$

代入半径求解。

$V= \frac{4}{3} \pi (\frac{3}{2})^3=\frac{4}{3} \pi (\frac{27}{8})$

化简分数。

答案是: $\frac{9}{2}\pi$

问题3:三维几何

如果一个球体的直径是 $2\pi^2$ 。

可能的答案:

$\frac{4}{3}\pi^6$

$\frac{4}{3}\pi^8$

$\frac{4}{3}\pi^7$

$\frac{4}{3}\pi^9$

$\frac{4}{3}\pi^{10}$

正确答案:

$\frac{4}{3}\pi^7$

解释：

写出球体体积的公式。

$V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi r^3$

半径是直径的一半。

$r= \frac{d}{2} =\frac{ 2\pi^2}{2}=\pi^2$

代入半径。

$V_{sphere} = \frac{4}{3}\pi(\pi^2)^3=\frac{4}{3}\pi(\pi^2)(\pi^2)(\pi^2)$

答案是: $\frac{4}{3}\pi^7$

问题1:三维几何

求一个球体的体积，如果这个球体的半径是 $3\pi^3$ 。

可能的答案:

$36\pi^{28}$

$4\pi^{10}$

$36\pi^{27}$

$36\pi^{10}$

$36\pi^{7}$

正确答案:

$36\pi^{10}$

解释：

写出球体的体积公式。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

把半径代入公式。

$V=\frac{4}{3}\pi (3\pi ^3)^3$

简化这些项。

$\frac{4}{3}\pi (3\pi ^3)^3 = \frac{4}{3}\pi (3\pi ^3)(3\pi ^3)(3\pi ^3)$

答案是: $36\pi^{10}$

问题10:三维几何

让 $\pi = 3.14$

球的半径是3英寸。求体积。

可能的答案:

$84.78\text{in}^3$

$113.04\text{in}^3$

$339.12\text{in}^3$

$25.12\text{in}^3$

$28.26\text{in}^3$

正确答案:

$113.04\text{in}^3$

解释：

为了求出球体的体积，我们将使用下面的公式:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

在哪里r是球体的半径。

我们知道 $\pi = 3.14$ 。

我们知道球的半径是3in。

现在，我们可以代入。我们得到了

$V = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot (3\text{in})^3$

$V = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 27\text{in}^3$

现在，我们可以化简，让事情变得简单。3和27都能被3整除。所以，我们得到

$V = \frac{4}{1} \cdot 3.14 \cdot 9\text{in}^3$

$V = 4 \cdot 3.14 \cdot 9\text{in}^3$

$V = 4 \cdot 9\text{in}^3 \cdot 3.14$

$V = 36\text{in}^3 \cdot 3.14$

$V = 113.04\text{in}^3$

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