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共同核心:高中-功能:使用特殊三角形确定三角函数:CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.3

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6诊断测试 82练习测试今日问题抽认卡从概念中学习

例子问题

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例子问题1:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算以下角度的正弦，余弦和正切。

$\theta=\frac{2\pi}{6}$

可能的答案:

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\frac{1}{2}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\sqrt{3}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\sqrt{3}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\frac{1}{\sqrt{3}}$

正确答案:

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\sqrt{3}$

解释：

这道题测试一个人理解特殊三角形(30-60-90度和45-45-90度)、与之相关的三角函数(正弦、余弦、正切)以及单位圆上对应的角度/弧度之间联系的能力。它依赖于这样一种理解，即角度的测量可以用单位圆和弧长的性质来描述。此外，涉及三角学概念的问题使用了与单位圆的角对应的恒等式的基础。回想一下，单位圆是一个半径为1且以原点为中心的圆。每一个 (x,y) 可以通过创建一个以圆为底的直角三角形来找到位于圆上的对-轴和从圆心到圆边缘上所需点的斜边。三角形的高度是连接圆边缘上的点和圆边缘上的点的垂直线设在。

为了共同核心标准的目的，理解“使用特殊三角形来几何上确定正弦，余弦，正切的值。 $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}$ ，属于“用单位圆扩展三角函数域”概念(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)的A类。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{6}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 3}=\frac{\pi}{3}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{3\cdot 60}{3}\\\\=60^\circ$

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是30-60-90度三角形。在原点处形成的角是60度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的30-60-90度三角形有如下的边恒等式。

$\\\textup{short side}= \frac{1}{2}\times\textup{hypotenuse} \\\textup{long side}=\textup{short side}\times \sqrt{3}$

用1代替斜边，三角形的长腿和短腿就可以得到了。

$\\\textup{short side}=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2} \\ \\ \textup{long side}=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

记住三角形的短边是在-轴和相邻的 $\theta$ ．长边是平行于-轴和对轴 $\theta$ ．

第四步:计算正弦，余弦和正切。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}} \\ \\ \\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}} \\ \\ \\ \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

从第二步开始，

$\\ \textup{opposite}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \textup{adjacent}=\frac{1}{2} \\ \\ \textup{hypotenuse}=1$

将步骤2中找到的值替换为上述标识如下。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{1}=\sqrt{3}$

报告错误

例子问题1:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下面这个角的正弦值。

$\theta=\frac{2\pi}{8}$

可能的答案:

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{2}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )={1}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )={\sqrt{2}}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

正确答案:

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{8}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 4}=\frac{\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 45}{4}\\\\=45^\circ$

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算正弦。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

报告错误

问题22:三角函数

计算以下角度的余弦。

$\theta=\frac{2\pi}{8}$

可能的答案:

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{2}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

正确答案:

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{8}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 4}=\frac{\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 45}{4}\\\\=45^\circ$

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算余弦。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

报告错误

问题4:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下面这个角的正切。

$\theta=\frac{2\pi}{8}$

可能的答案:

$\tan(\theta)=-1$

$\tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\theta)=1$

$\tan(\theta)=\frac{1}{2}$

$\tan(\theta)=\sqrt{2}$

正确答案:

$\tan(\theta)=1$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{8}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 4}=\frac{\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 45}{4}\\\\=45^\circ$

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算切线。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{sin}(\theta)}{\textup{cos}(\theta)}$

$\\ \tan(\theta)=\frac{\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}{{\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

回想一下，分式除法时，分子乘以分母的倒数。

$\tan (\theta)=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{1}=1$

报告错误

例5:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下面这个角的正切。

$\theta=\frac{6\pi}{8}$

可能的答案:

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-1$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-{\sqrt{2}}$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=1$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

正确答案:

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-1$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{6\pi}{8}=\frac{2\cdot 3\pi}{2\cdot 4}=\frac{3\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 135}{4}\\\\=135^\circ$

用180度减去参考角来求参考角。

$180^\circ-135^\circ=45^\circ$

这意味着135°是位于第二象限的45°角。第二象限包含正数价值观和否定值。

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算切线。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}$

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}=\frac{1}{1}=1$

因为tan表示值除以坐标网格上的值，这意味着象限二的角的正切值为负。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}=-\frac{1}{1}=-1$

报告错误

例子问题6:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下面这个角的正弦值。

$\theta=\frac{6\pi}{8}$

可能的答案:

$\sin(\theta)=\frac{1}{2}$

$\sin(\theta)=1$

$\sin(\theta)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\theta)=-\frac{1}{2}$

正确答案:

$\sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{6\pi}{8}=\frac{2\cdot 3\pi}{2\cdot 4}=\frac{3\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 135}{4}\\\\=135^\circ$

用180度减去参考角来求参考角。

$180^\circ-135^\circ=45^\circ$

这意味着135°是位于第二象限的45°角。第二象限包含正数价值观和否定值。

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算正弦。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

因为sin表示坐标网格上的值，这意味着对于象限二的角，正弦值仍然为正。

报告错误

示例问题7:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算以下角度的余弦。

$\theta=\frac{6\pi}{8}$

可能的答案:

$\cos\left(\frac{6\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\left(\frac{6\pi}{8} \right )=\frac{1}{2}$

$\cos\left(\frac{6\pi}{8} \right )=-1$

$\cos\left(\frac{6\pi}{8} \right )=-\frac{1}{2}$

$\cos\left(\frac{6\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

正确答案:

$\cos\left(\frac{6\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{6\pi}{8}=\frac{2\cdot 3\pi}{2\cdot 4}=\frac{3\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 135}{4}\\\\=135^\circ$

用180度减去参考角来求参考角。

$180^\circ-135^\circ=45^\circ$

这意味着135°是位于第二象限的45°角。第二象限包含正数价值观和否定值。

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算余弦。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

因为余弦表示坐标网格上的值，这意味着对于象限二的角余弦是负的。

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

报告错误

例8:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下面这个角的正切。

$\theta=\frac{10\pi}{8}$

可能的答案:

$\tan\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{2}$

$\tan\left(\frac{10\pi}{8} \right )=\frac{1}{2}$

$\tan\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-1$

$\tan\left(\frac{10\pi}{8} \right )=1$

$\tan\left(\frac{10\pi}{8} \right )=\sqrt{2}$

正确答案:

$\tan\left(\frac{10\pi}{8} \right )=1$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{10\pi}{8}=\frac{2\cdot 5\pi}{2\cdot 4}=\frac{5\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{5\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 25}{4}\\\\=225^\circ$

用这个角减去180度来求参考角。

$225^\circ-180^\circ=45^\circ$

这意味着225°是一个45°角，位于第三象限。回想一下，第三象限包含负数价值观和否定值。

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=-1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算切线。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}$

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}=\frac{-1}{-1}=1$

因为tan表示值除以坐标网格上的值，这意味着象限三的角的正切值为正。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}=\frac{1}{1}=1$

报告错误

问题9:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下面这个角的正弦值。

$\theta=\frac{10\pi}{8}$

可能的答案:

$\sin\left(\frac{10\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\left(\frac{10\pi}{8} \right )=\frac{1}{{2}}$

$\sin\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-1$

$\sin\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{{2}}$

正确答案:

$\sin\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{10\pi}{8}=\frac{2\cdot 5\pi}{2\cdot 4}=\frac{5\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{5\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 25}{4}\\\\=225^\circ$

用这个角减去180度来求参考角。

$225^\circ-180^\circ=45^\circ$

这意味着225°是一个45°角，位于第三象限。回想一下，第三象限包含负数价值观和否定值。

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=-1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算切线。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenus}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

报告错误

例子问题2:3 .使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算以下角度的余弦。

$\theta=\frac{10\pi}{8}$

可能的答案:

$\cos\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{2}$

$\cos\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\left(\frac{10\pi}{8} \right )=1$

$\cos\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-1$

$\cos\left(\frac{10\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

正确答案:

$\cos\left(\frac{10\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

I.在单位圆上画出角度，求 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ ．

2找出与这个角相对应的特殊三角形。

3使用单位圆的记忆。

对于这个问题，我们来看第二题。

第一步:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{10\pi}{8}=\frac{2\cdot 5\pi}{2\cdot 4}=\frac{5\pi}{4}$

第二步:确定与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们将角度转换为角度，以便更容易地看到它创建的特殊直角三角形。

$\\ \frac{5\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 25}{4}\\\\=225^\circ$

用这个角减去180度来求参考角。

$225^\circ-180^\circ=45^\circ$

这意味着225°是一个45°角，位于第三象限。回想一下，第三象限包含负数价值观和否定值。

因此这个特殊的三角形是用 $\theta$ 是45-45-90度的三角形。在原点处形成的角是45度，根据定义，从原点到单位圆边缘的段的长度为1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回忆一下特殊的45-45-90度三角形有以下边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=-1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算切线。

回忆一下下面的三角恒等式。

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenus}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

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问题22:三角函数

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