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例子问题

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问题1:三角函数

转换 $135^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{\pi}{4}$

$\pi$

$\frac{4\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{3\pi}{4}$

解释：

这道题测试一个人理解弧度和角度转换的能力。它依赖于这样一种理解:角的度量可以用单位圆和弧长的性质来描述。此外，涉及三角学概念的问题使用了来自单位圆的角度的相应恒等式的基础。回想一下，单位圆是一个半径为1，以原点为圆心的圆。每一个 (x,y) 在圆上的一对可以通过创建一个直角三角形来找到-轴和一条从圆心到圆边缘所需点的斜边。三角形的高度是连接圆边缘上的点和设在。

就公共核心标准而言，将角度的弧度度量理解为该角度所对应的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.Math.content.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=135^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{135^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{135^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{135\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{135\pi}{180} \\ \\ =\frac{45\cdot 3\pi}{45\cdot 4} \\ \\ =\frac{3\pi}{4}$

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问题2:三角函数

转换 $45^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{2\pi}{4}$

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{\pi}{4}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=45^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{45^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{45^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{45\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{45\pi}{180} \\ \\ =\frac{45\cdot 1\pi}{45\cdot 4} \\ \\ =\frac{\pi}{4}$

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问题3:三角函数

转换 $80^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{3\pi}{9}$

$\frac{9\pi}{4}$

$\frac{4\pi}{9}$

$\frac{4\pi}{5}$

$\frac{8\pi}{9}$

正确答案:

$\frac{4\pi}{9}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=80^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{80^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{80^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{80\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{80\pi}{180} \\ \\ =\frac{20\cdot 4\pi}{20\cdot 9} \\ \\ =\frac{4\pi}{9}$

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问题4:三角函数

转换 $320^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{16\pi}{8}$

$\frac{16\pi}{9}$

$\frac{16\pi}{4}$

$\frac{9\pi}{6}$

$\frac{9\pi}{16}$

正确答案:

$\frac{16\pi}{9}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=320^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{320^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{320^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{320\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{320\pi}{180} \\ \\ =\frac{20\cdot 16\pi}{20\cdot 9} \\ \\ =\frac{16\pi}{9}$

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问题5:三角函数

转换 $275^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{45\pi}{36}$

$\frac{5\pi}{6}$

$\frac{36\pi}{55}$

$\frac{5\pi}{3}$

$\frac{55\pi}{36}$

正确答案:

$\frac{55\pi}{36}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=275^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{275^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{275^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{275\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{275\pi}{180} \\ \\ =\frac{5\cdot55\pi}{5\cdot 36} \\ \\ =\frac{55\pi}{36}$

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问题6:三角函数

转换 $75^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{12\pi}{5}$

$\frac{5\pi}{20}$

$\frac{5\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{10}$

正确答案:

$\frac{5\pi}{12}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=75^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{75^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{75^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{75\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{75\pi}{180} \\ \\ =\frac{15\cdot 5\pi}{15\cdot 12} \\ \\ =\frac{5\pi}{12}$

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问题7:三角函数

转换 $112^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{45\pi}{28}$

$\frac{24\pi}{40}$

$\frac{8\pi}{5}$

$\frac{28\pi}{45}$

$\frac{18\pi}{45}$

正确答案:

$\frac{28\pi}{45}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=112^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{112^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{112^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{112\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{112\pi}{180} \\ \\ =\frac{4\cdot 28\pi}{4\cdot 45} \\ \\ =\frac{28\pi}{45}$

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问题8:三角函数

转换 $12^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{12\pi}{15}$

$\frac{2\pi}{15}$

$\frac{\pi}{15}$

$\frac{\pi}{5}$

$\frac{\pi}{12}$

正确答案:

$\frac{\pi}{15}$

解释：

在通用核心标准中，将角度的弧度度量理解为该角度所包含的单位圆上的弧的长度，属于使用单位圆概念扩展三角函数的范畴(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=12^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{12^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{12^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{12\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{12\pi}{180} \\ \\ =\frac{12\cdot 1\pi}{12\cdot 15} \\ \\ =\frac{\pi}{15}$

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问题9:三角函数

转换 $33^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{10\pi}{62}$

$\frac{12\pi}{61}$

$\frac{60\pi}{11}$

$\frac{11\pi}{60}$

正确答案:

$\frac{11\pi}{60}$

解释：

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了解了与之相关的标准和概念之后，我们现在就可以一步步地解决问题了。

第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=33^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{33^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{33^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{33\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{33\pi}{180} \\ \\ =\frac{3\cdot 11\pi}{3\cdot 60} \\ \\ =\frac{11\pi}{60}$

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问题10:三角函数

转换 $90^\circ$ 弧度。

可能的答案:

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

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第一步:确定弧度和角度单位转换的一般公式。

$360^\circ=2\pi \textup{ radians}\Rightarrow180^\circ=\pi\textup{ radians}$

因此，将角度转换为弧度，

$\frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ}=\textup{radian measurement}$

步骤2:识别问题中给出的值。

$x=\textup{degrees}=90^\circ$

第三步:将第2步的值代入第1步的公式。

$\\ \frac{x^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{90^\circ}{1}\times \frac{\pi}{180^\circ} \\ \\ =\frac{90^\circ\pi}{180^\circ}$

分子分母上的度数消掉了。

$\frac{90\pi}{180}$

从这里开始，通过找出存在于分子和分母中的公因数来化简分数。

$\\ \frac{90\pi}{180} \\ \\ =\frac{90\cdot 1\pi}{90\cdot 2} \\ \\ =\frac{\pi}{2}$

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