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例子问题

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问题9:坐标平面上的单位圆:csss . math . content . hsf . Tf.A.2

$\theta$ 之间的角度是-轴和连接原点和点的直线 (3,4) 。

计算 $\tan(\theta)$ 。

可能的答案:

$\tan(\theta)=\frac{4}{3}$

$\tan(\theta)=\frac{5}{3}$

$\tan(\theta)=\frac{3}{5}$

$\tan(\theta)=\frac{4}{5}$

$\tan(\theta)=\frac{3}{4}$

正确答案:

$\tan(\theta)=\frac{4}{3}$

解释：

这个问题是测试一个人理解三角关系的能力，以及它们是如何与单位圆联系起来解决问题的。

为了共同核心标准的目的，“解释坐标平面上的单位圆如何能够将三角函数扩展到所有实数，解释为围绕单位圆逆时针旋转的角度的弧度度量”属于“使用单位圆扩展三角函数域”概念的集群A (CCSS.MATH.CONTENT.HSF-TF.A.2)。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

第一步:绘制连接原点和点的直线 (3,4) 。

截屏2016 01 14上午11点03分26秒

第二步:使用直角三角形和单位圆来确定描述情况的三角特征。

单位圆是解决三角问题的一个非常有用的工具。在三角学中，单位圆位于原点，半径为1单位。这是因为直角三角形可以用x轴作为三角形的一条边，用从原点到圆上一点的直线作为斜边，测量值为1。

因此，圆上的点坐标为 $(\cos(x),\sin(x))$ 对于x轴和斜边形成的角。知道这一点很重要

$(x,y)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ 可以用单位圆上的三角形来求。

回想一下，利用三角恒等式，

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

对于这个问题，

$\\(3,4)=(\cos(\theta),\sin(\theta)) \\\cos(\theta)=3 \\\sin(\theta)=4$

第三步:回答问题。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{4}{3}$

报告错误

问题10:坐标平面上的单位圆:csss . math . content . hsf . Tf.A.2

$\theta$ 之间的角度是-轴和连接原点和点的直线 (-5,12) 。

计算 $\sin(\theta)$ 。

可能的答案:

$\sin(\theta)=-5$

$\sin(\theta)=-12$

$\sin(\theta)=13$

$\sin(\theta)=12$

$\sin(\theta)=5$

正确答案:

$\sin(\theta)=12$

解释：

这个问题是测试一个人理解三角关系的能力，以及它们是如何与单位圆联系起来解决问题的。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

第一步:绘制连接原点和点的直线 (-5,12) 。

截屏2016年02月04日上午7点43分01分

第二步:使用直角三角形和单位圆来确定描述情况的三角特征。

因此，圆上的点坐标为 $(\cos(x),\sin(x))$ 对于x轴和斜边形成的角。知道这一点很重要

$(x,y)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ 可以用单位圆上的三角形来求。

对于这个问题，

$\\(-5,12)=(\cos(\theta),\sin(\theta)) \\\cos(\theta)=-5 \\\sin(\theta)=12$

第三步:回答问题。

$\sin(\theta)=12$

报告错误

问题11:坐标平面上的单位圆:csss . math . content . hsf . Tf.A.2

$\theta$ 之间的角度是-轴和连接原点和点的直线 (-5,12) 。

计算 $\cos(\theta)$ 。

可能的答案:

$\cos(\theta)=-5$

$\cos(\theta)=13$

$\cos(\theta)=-12$

$\cos(\theta)=5$

$\cos(\theta)=12$

正确答案:

$\cos(\theta)=-5$

解释：

这个问题是测试一个人理解三角关系的能力，以及它们是如何与单位圆联系起来解决问题的。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

第一步:绘制连接原点和点的直线 (-5,12) 。

截屏2016年02月04日上午7点43分01分

第二步:使用直角三角形和单位圆来确定描述情况的三角特征。

因此，圆上的点坐标为 $(\cos(x),\sin(x))$ 对于x轴和斜边形成的角。知道这一点很重要

$(x,y)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ 可以用单位圆上的三角形来求。

对于这个问题，

$\\(-5,12)=(\cos(\theta),\sin(\theta)) \\\cos(\theta)=-5 \\\sin(\theta)=12$

第三步:回答问题。

$\cos(\theta)=-5$

报告错误

问题12:坐标平面上的单位圆:csss . math . content . hsf . Tf.A.2

$\theta$ 之间的角度是-轴和连接原点和点的直线 (-2,6) 。

计算 $\cos(\theta)$ 。

可能的答案:

$\cos(\theta)=-2$

$\cos(\theta)=6$

$\cos(\theta)=2$

$\cos(\theta)=-6$

$\cos(\theta)=-\sqrt{40}$

正确答案:

$\cos(\theta)=-2$

解释：

这个问题是测试一个人理解三角关系的能力，以及它们是如何与单位圆联系起来解决问题的。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

第一步:绘制连接原点和点的直线 (-2,6) 。

截屏2016年02月04日上午7点43分01分

第二步:使用直角三角形和单位圆来确定描述情况的三角特征。

因此，圆上的点坐标为 $(\cos(x),\sin(x))$ 对于x轴和斜边形成的角。知道这一点很重要

$(x,y)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ 可以用单位圆上的三角形来求。

对于这个问题，

$\\(-2,6)=(\cos(\theta),\sin(\theta)) \\\cos(\theta)=-2 \\\sin(\theta)=6$

第三步:回答问题。

$\cos(\theta)=-2$

报告错误

问题1:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下列角的正弦、余弦和正切。

$\theta=\frac{2\pi}{6}$

可能的答案:

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\frac{1}{2}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\sqrt{3}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\sqrt{3}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\frac{1}{\sqrt{3}}$

正确答案:

$\\\sin\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\\cos\left(\frac{2\pi}{6} \right )=\frac{1}{2} \\ \\ \tan\left( \frac{2\pi}{6}\right )=\sqrt{3}$

解释：

这道题测试考生理解特殊三角形(30-60-90和45-45-90)、与之相关的三角函数(正弦、余弦、正切)和单位圆上相应的度数/弧度之间的联系的能力。它依赖于这样一种理解，即角的度量可以用单位圆和弧长的性质来描述。此外，涉及三角概念的问题使用了单位圆角度对应恒等式的基础。回想一下，单位圆是半径为1且以原点为圆心的圆。每一个 (x,y) 在圆上的一对可以通过创建一个以三角形为底的直角三角形来找到-轴和一条从圆心到圆边缘所需点的斜边。三角形的高度是连接圆边缘上的点和三角形的垂直线设在。

为了达到共同核心标准的目的，理解“使用特殊三角形从几何上确定正弦、余弦、正切的值” $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}$ ，属于“利用单位圆扩展三角函数的定义域”概念的A类(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A)。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

在单位圆上画出角度来找到 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ 。

2找出与这个角对应的特殊三角形。

3利用单位圆的记忆。

对于这个特殊的问题，让我们来处理II。

步骤1:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{6}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 3}=\frac{\pi}{3}$

第二步:找出与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们把这个角转换成度数，这样更容易看到它形成的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{3\cdot 60}{3}\\\\=60^\circ$

所以这个特殊的三角形是由 $\theta$ 是30-60-90度三角形。在原点处形成的角是60度，从原点到单位圆边缘的段的长度根据定义是1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回想一下特殊的30-60-90度三角形有以下的边恒等式。

$\\\textup{short side}= \frac{1}{2}\times\textup{hypotenuse} \\\textup{long side}=\textup{short side}\times \sqrt{3}$

将斜边代入1，就可以求出三角形的长、短边。

$\\\textup{short side}=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2} \\ \\ \textup{long side}=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

重要的是要记住三角形的短边是在-轴和邻边 $\theta$ 。长边是平行于-轴和的对边 $\theta$ 。

第四步:计算正弦、余弦和正切。

回想一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}} \\ \\ \\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}} \\ \\ \\ \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

从步骤2开始，

$\\ \textup{opposite}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \textup{adjacent}=\frac{1}{2} \\ \\ \textup{hypotenuse}=1$

将步骤2中找到的值代入上述恒等式如下所示。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{1}=\sqrt{3}$

报告错误

问题1:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下列角度的正弦值。

$\theta=\frac{2\pi}{8}$

可能的答案:

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{2}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )={1}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )={\sqrt{2}}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

正确答案:

$\sin\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

在单位圆上画出角度来找到 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ 。

2找出与这个角对应的特殊三角形。

3利用单位圆的记忆。

对于这个特殊的问题，让我们来处理II。

步骤1:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{8}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 4}=\frac{\pi}{4}$

第二步:找出与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们把这个角转换成度数，这样更容易看到它形成的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 45}{4}\\\\=45^\circ$

所以这个特殊的三角形是由 $\theta$ 是45-45-90度三角形。在原点处形成的角是45度，从原点到单位圆边缘的段的长度根据定义是1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回想一下特殊的45-45-90度三角形有以下的边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算正弦。

回想一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

报告错误

问题22:三角函数

计算下面这个角的余弦值。

$\theta=\frac{2\pi}{8}$

可能的答案:

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{2}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

正确答案:

$\cos\left(\frac{2\pi}{8} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

在单位圆上画出角度来找到 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ 。

2找出与这个角对应的特殊三角形。

3利用单位圆的记忆。

对于这个特殊的问题，让我们来处理II。

步骤1:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{8}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 4}=\frac{\pi}{4}$

第二步:找出与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们把这个角转换成度数，这样更容易看到它形成的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 45}{4}\\\\=45^\circ$

所以这个特殊的三角形是由 $\theta$ 是45-45-90度三角形。在原点处形成的角是45度，从原点到单位圆边缘的段的长度根据定义是1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回想一下特殊的45-45-90度三角形有以下的边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算余弦。

回想一下下面的三角恒等式。

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \cos(\theta)=\frac{\textup{adjacent}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

报告错误

问题4:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算以下角度的正切。

$\theta=\frac{2\pi}{8}$

可能的答案:

$\tan(\theta)=-1$

$\tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\theta)=1$

$\tan(\theta)=\frac{1}{2}$

$\tan(\theta)=\sqrt{2}$

正确答案:

$\tan(\theta)=1$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

在单位圆上画出角度来找到 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ 。

2找出与这个角对应的特殊三角形。

3利用单位圆的记忆。

对于这个特殊的问题，让我们来处理II。

步骤1:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{2\pi}{8}=\frac{2\cdot 1\pi}{2\cdot 4}=\frac{\pi}{4}$

第二步:找出与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们把这个角转换成度数，这样更容易看到它形成的特殊直角三角形。

$\\ \frac{\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 45}{4}\\\\=45^\circ$

所以这个特殊的三角形是由 $\theta$ 是45-45-90度三角形。在原点处形成的角是45度，从原点到单位圆边缘的段的长度根据定义是1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回想一下特殊的45-45-90度三角形有以下的边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算正切。

回想一下下面的三角恒等式。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{sin}(\theta)}{\textup{cos}(\theta)}$

$\\ \tan(\theta)=\frac{\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}{{\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

回想一下，当分割分数时，可以用分子乘以分母的倒数。

$\tan (\theta)=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{1}=1$

报告错误

问题5:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算以下角度的正切。

$\theta=\frac{6\pi}{8}$

可能的答案:

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-1$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-{\sqrt{2}}$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=1$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

正确答案:

$\tan\left(\frac{6\pi}{8}\right)=-1$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

在单位圆上画出角度来找到 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ 。

2找出与这个角对应的特殊三角形。

3利用单位圆的记忆。

对于这个特殊的问题，让我们来处理II。

步骤1:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{6\pi}{8}=\frac{2\cdot 3\pi}{2\cdot 4}=\frac{3\pi}{4}$

第二步:找出与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们把这个角转换成度数，这样更容易看到它形成的特殊直角三角形。

$\\ \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 135}{4}\\\\=135^\circ$

用180度减去这个角，求出参考角。

$180^\circ-135^\circ=45^\circ$

这意味着135度是45度角位于第二象限。回想一下，第二象限包含正值和负数值。

所以这个特殊的三角形是由 $\theta$ 是45-45-90度三角形。在原点处形成的角是45度，从原点到单位圆边缘的段的长度根据定义是1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回想一下特殊的45-45-90度三角形有以下的边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算正切。

回想一下下面的三角恒等式。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}$

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}=\frac{1}{1}=1$

因为tan表示的值坐标网格上的值，这意味着对于象限二的角度，正切值是负的。

$\\ \tan(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{adjacent}}=-\frac{1}{1}=-1$

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问题6:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

计算下列角度的正弦值。

$\theta=\frac{6\pi}{8}$

可能的答案:

$\sin(\theta)=\frac{1}{2}$

$\sin(\theta)=1$

$\sin(\theta)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\theta)=-\frac{1}{2}$

正确答案:

$\sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

了解了标准和与之相关的概念之后，我们现在就可以逐步解决问题了。

解决这个问题的可能方法:

在单位圆上画出角度来找到 $(x,y)=(cos(\theta),sin(\theta))$ 。

2找出与这个角对应的特殊三角形。

3利用单位圆的记忆。

对于这个特殊的问题，让我们来处理II。

步骤1:尽可能简化角度。

$\theta=\frac{6\pi}{8}=\frac{2\cdot 3\pi}{2\cdot 4}=\frac{3\pi}{4}$

第二步:找出与这个角对应的特殊直角三角形。

让我们把这个角转换成度数，这样更容易看到它形成的特殊直角三角形。

$\\ \frac{3\pi}{4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\\ \\=\frac{4\cdot 135}{4}\\\\=135^\circ$

用180度减去这个角，求出参考角。

$180^\circ-135^\circ=45^\circ$

这意味着135度是45度角位于第二象限。回想一下，第二象限包含正值和负数值。

所以这个特殊的三角形是由 $\theta$ 是45-45-90度三角形。在原点处形成的角是45度，从原点到单位圆边缘的段的长度根据定义是1。

第三步:计算特殊三角形的边长。

从这里，回想一下特殊的45-45-90度三角形有以下的边恒等式。

$\\ \text{side lengths}: \\\text{opposite side}=\text{adjacent side}=1 \\ \text{hypotenuse}=\sqrt{2}$

第四步:计算正弦。

回想一下下面的三角恒等式。

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}$

$\\ \sin(\theta)=\frac{\textup{opposite}}{\textup{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

因为sin表示坐标网格上的值，这意味着在象限二的角度中，sin仍然是正的。

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问题11:坐标平面上的单位圆:csss . math . content . hsf . Tf.A.2

问题12:坐标平面上的单位圆:csss . math . content . hsf . Tf.A.2

问题1:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

问题1:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

问题22:三角函数

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问题5:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

问题6:使用特殊三角形确定三角函数:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.A.3

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