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公共核心:高中-函数:证明三角函数的加减法公式:CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9

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例子问题

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例子问题1:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用正弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\sin(105^\circ)$ ．

可能的答案:

$\sin(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

$\sin(105^\circ)=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$

$\sin(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\sin(105^\circ)=\frac{\sqrt{8}}{2}$

正确答案:

$\sin(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

解释：

这类问题考验的是学生对几何、直角三角形、三角函数以及证明的深刻理解。诸如此类的问题并不是设计用来测试的，而是用来构建对更高层次数学课程有帮助的知识。

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$105^\circ=60^\circ+45^\circ$

第二步:写出正弦函数的一般加法公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入正弦的一般加法公式。

$\\a=60^\circ \\b=45^\circ$

$\\ \sin(60^\circ+45^\circ)=\sin(60^\circ)\cos(45^\circ)+\cos(60^\circ)\sin(45^\circ) \\\sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}} \\ \\ \sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

为了使分母合理化分子和分母同时乘以根号2。

$\\ \sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\ \\ \sin(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

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例子问题2:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用正弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\sin(75^\circ)$ ．

可能的答案:

$\sin(75^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt2}$

$\sin(75^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

$\sin(75^\circ)=\frac{1}{2\sqrt2}$

$\sin(75^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt2}$

$\sin(75^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt2}$

正确答案:

$\sin(75^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt2}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$75^\circ=30^\circ+45^\circ$

第二步:写出正弦函数的一般加法公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入正弦的一般加法公式。

$\\a=30^\circ \\b=45^\circ$

$\\ \sin(30^\circ+45^\circ)=\sin(30^\circ)\cos(45^\circ)+\cos(30^\circ)\sin(45^\circ) \\\sin(30^\circ+45^\circ)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \sin(30^\circ+45^\circ)=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\ \\ \sin(30^\circ+45^\circ)=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

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示例问题3:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用正弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\sin(120^\circ)$ ．

可能的答案:

$\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(120^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(120^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

正确答案:

$\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$120^\circ=60^\circ+60^\circ$

第二步:写出正弦函数的一般加法公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入正弦的一般加法公式。

$\\a=60^\circ \\b=60^\circ$

$\\ \sin(60^\circ+60^\circ)=\sin(60^\circ)\cos(60^\circ)+\cos(60^\circ)\sin(60^\circ) \\\sin(60^\circ+60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4} \\ \\ \sin(60^\circ+60^\circ)=\frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\\ \sin(60^\circ+60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

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示例问题4:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用正弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\sin(135^\circ)$ ．

可能的答案:

$\sin(135^\circ)=\frac{1}{2}$

$\sin(135^\circ)={\sqrt{2}}$

$\sin(135^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(135^\circ)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(135^\circ)=-\frac{1}{2}$

正确答案:

$\sin(135^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$135^\circ=90^\circ+45^\circ$

第二步:写出正弦函数的一般加法公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入正弦的一般加法公式。

$\\a=90^\circ \\b=45^\circ$

$\\ \sin(90^\circ+45^\circ)=\sin(90^\circ)\cos(45^\circ)+\cos(90^\circ)\sin(45^\circ) \\\sin(90^\circ+45^\circ)=1\times\frac{1}{\sqrt{2}}+0\times\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \sin(90^\circ+45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

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示例问题5:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用正弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\sin(450^\circ)$ ．

可能的答案:

$\sin(450^\circ)=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$

$\sin(450^\circ)=-\frac{1}{2}$

$\sin(450^\circ)=1$

$\sin(450^\circ)=-1$

$\sin(450^\circ)=\frac{1}{2}$

正确答案:

$\sin(450^\circ)=1$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$450^\circ=360^\circ+90^\circ$

第二步:写出正弦函数的一般加法公式。

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入正弦的一般加法公式。

$\\a=360^\circ \\b=90^\circ$

$\sin(360+90)=\sin(360)\cos(90)+\cos(360)\sin(90)$

$\sin(360+90)=0\times 0+1\times1$

$\sin(360+90)=1$

$\sin(450^\circ)=1$

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示例问题6:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用正弦和特殊参考角的减法公式计算，

$\sin(15^\circ)$ ．

可能的答案:

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6-1}{4}$

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6-\sqrt{2}}{2}$

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6+\sqrt{2}}{4}$

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6-\sqrt{2}}{4}$

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6+\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6-\sqrt{2}}{4}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$15^\circ=45^\circ-30^\circ$

第二步:写出正弦函数的一般加法公式。

$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入正弦的一般加法公式。

$\\a=45^\circ \\b=30^\circ$

$\sin(45-30)=\sin(45)\cos(30)-\cos(45)\sin(30)$

$\sin(45-30)=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{2}$

$\sin(45-30)= \frac{\sqrt3}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\sin(45-30)= \frac{\sqrt3-1}{2\sqrt{2}}$

现在让分母合理化分子分母同时乘以根号2。

$\sin(45-30)= \frac{\sqrt3-1}{2\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\sin(45-30)= \frac{\sqrt6-\sqrt{2}}{2\times 2}$

$\sin(45-30)= \frac{\sqrt6-\sqrt{2}}{4}$

$\sin(15^\circ)= \frac{\sqrt6-\sqrt{2}}{4}$

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示例问题7:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用余弦和特殊参考角的减法公式计算，

$\cos(15^\circ)$ ．

可能的答案:

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}+1}{4}$

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$15^\circ=45^\circ-30^\circ$

第二步:写出余弦函数的一般加法公式。

$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入余弦的一般加法公式。

$\\a=45^\circ \\b=30^\circ$

$\cos(45-30)=\cos(45)\cos(30)+\sin(45)\sin(30)$

$\cos(45-30)=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}$

$\cos(45-30)=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\cos(45-30)=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

为了使分母合理化，分子和分母同时乘以根号2。

$\cos(45-30)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

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示例问题8:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用余弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\cos(105^\circ)$ ．

可能的答案:

$\cos(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\cos(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

$\cos(105^\circ)=\frac{1-\sqrt{6}}{4}$

$\cos(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

$\cos(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

正确答案:

$\cos(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$105^\circ=60^\circ+45^\circ$

第二步:写出余弦函数的一般加法公式。

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入余弦的一般加法公式。

$\\a=60^\circ \\b=45^\circ$

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

$\cos(60+45)=\cos(60)\cos(45)-\sin(60)\sin(45)$

$\cos(60+45)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos(60+45)=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

为了使分母合理化分子和分母同时乘以根号2。

$\cos(60+45)=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\cos(60+45)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\cos(105^\circ)=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

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示例问题9:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用余弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\cos(450^\circ)$ ．

可能的答案:

$\cos(450^\circ)=-\frac{1}{2}$

$\cos(450^\circ)=\frac{1}{2}$

$\cos(450^\circ)=1$

$\cos(450^\circ)=-1$

$\cos(450^\circ)=0$

正确答案:

$\cos(450^\circ)=0$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$450^\circ=360^\circ+90^\circ$

第二步:写出余弦函数的一般加法公式。

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入余弦的一般加法公式。

$\\a=360^\circ \\b=90^\circ$

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

$\cos(360+90)=\cos(360)\cos(90)-\sin(360)\sin(90)$

$\cos(360+90)=1(0)-0(1)$

$\cos(360+90)=0$

$\cos(450^\circ)=0$

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示例问题10:证明三角函数的加减公式:Ccss.Math.Content.Hsf Tf.C.9

利用余弦和特殊参考角的加法公式计算，

$\cos(75^\circ)$

可能的答案:

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}-1}{4}$

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

正确答案:

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

解释：

在《公共核心标准》中，“证明正弦、余弦和正切的加减法公式并使用它们来解决问题”属于“证明和应用三角恒等式”(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)的C类。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:将角度分解为两个对应特殊参考角的角度。

$75^\circ=45^\circ+30^\circ$

第二步:写出余弦函数的一般加法公式。

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

第三步:将参考角代入余弦的一般加法公式。

$\\a=45^\circ \\b=30^\circ$

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

$\cos(45+30)=\cos(45)\cos(30)-\sin(45)\sin(30)$

$\cos(45+30)=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}$

$\cos(45+30)=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

要使分母合理化，就要乘以根号2。

$\cos(45+30)=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\cos(45+30)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos(75^\circ)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

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