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公共核心:高中-功能:分解和完成平方:CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8a

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例子问题

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例子问题1:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

完成平方计算出下列函数的0。

0=x^2+4x-6

可能的答案:

$x= 2\pm\sqrt{10}$

$x= -2\pm\sqrt{10}$

$x=-4\pm\sqrt{10}$

$x= 2\pm\sqrt{5}$

$x= -2\pm\sqrt{5}$

正确答案:

$x= -2\pm\sqrt{10}$

解释：

这个问题是测试一个人的能力，分析一个函数的代数和识别不同但等价的形式。通过分析等价形式来识别函数的性质对这个概念至关重要。通过分析函数的不同形式可以发现这样的属性，包括查找根(零)、极值、对称性和截距。

就公共核心标准的目的而言，通过完成平方的方式进行分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

在寻找等价形式的二次方程时，主要有两种方法。

我保理。

2完全平方

这个问题需要用方法二来解决。完成了广场。重要的是要记住，函数的零点是图穿过的区域设在。换句话说，求一个函数的根就是求它值结果等于零。

对于这个特定的问题，步骤如下。

第一步:从数学上确定完成方框的方式。

给定一个函数,

0=ax^2+bx+c

把除以2，然后平方，然后把它加到方程两边。

假设 a=1 ，

$\left(\frac{b}{2}\right)^2=ax^2+bx\ \ \ \ \ \ \left(\frac{b}{2}\right)^2 \ \ \ +c$

$\downarrow$ $\uparrow$

$\left(\frac{b}{2}\right)^2\rightarrow\uparrow$

那么因式就变成了，

$\left(\frac{b}{2} \right )^2=\left(ax+\left(\frac{b}{2} \right )\right)^2+c$

回想一下, a,b,c 是常数。

第二步:求解．

应用上述步骤来解决这个特定的问题。

第一步:从数学上确定完成方框的方式。

0=x^2+4x-6

a=1; b=4

$\left(\frac{4}{2}\right)^2=x^2+4x \ \ + \left(\frac{4}{2}\right)^2 \ \ \ -6$

$\downarrow$ $\uparrow$

$\left(\frac{4}{2}\right)^2\rightarrow\uparrow$

简化的结果,

$2^2=x^2+4x \ \ \ +2^2 \ \ \ -6$

那么因式就变成了，

$\\ 2^2=(x+2)^2-6 \\4=(x+2)^2-6$

第二步:求解．

步骤3:验证结果并检查是否有多余的解决方案。

使用相反的操作将常数从一边移动到另一边。

$\\ 4=(x+2)^2-6 \\4+6=(x+2)^2-6+6 \\10=(x+2)^2$

回想一下平方号的相反运算是根号。

$\\ \sqrt{10}=\sqrt{(x+2)^2} \\ \pm\sqrt{10}=x+2$

取一个数字的平方根会得到两个值，一个正一个负。

$\\ -2\pm \sqrt{10}=x+2-2 \\-2\pm\sqrt{10}=x$

步骤3:验证结果。

要验证这两个值是否是函数的根，请将它们代入在原函数中。如果它们的输出值是零，那么它们实际上是零(根)。当两个值都代入函数并用计算器求解时，可以看到两个值都得到一个根。

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例子问题2:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

计算下面函数的顶点。

y=2x^2-4x+8

可能的答案:

(2,4)

(-1,6)

(-6,1)

(6,1)

(1,6)

正确答案:

(1,6)

解释：

这个问题是测试一个人的能力，分析一个函数的代数和图形和确定一个函数的顶点。通过分析等价形式来识别函数的性质对这个概念至关重要。通过分析函数的不同形式可以发现这样的属性，包括查找根(零)、极值、对称性和截距。

就公共核心标准的目的而言，使用因子分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别函数的给出形式。

回想一下二次方程的标准形式是，

y=ax^2+bx+c ．

对于这个特定函数

y=2x^2-4x+8

$\\a=2 \\b=-4 \\c=8$

重要的是要记住，抛物线的顶点是函数的谷或峰，取决于平方项前面的符号。如果平方项是正的，那么抛物线开口大，顶点是谷形如果平方项是负的，那么抛物线开口小，顶点是函数的一个峰。

第二步:识别计算抛物线顶点的公式。

的顶点的坐标可以用下面的公式求得。

$x=-\frac{b}{2a}$

替换这个特定函数的值会得到以下结果。

$\\ x=-\frac{b}{2a} \\ \\x=-\frac{-4}{2(2)} \\ \\x=\frac{4}{4} \\ \\x=1$

第三步:一旦求出坐标，代入原方程求解顶点的坐标。

$\\ y=2x^2-4x+8 \\y=2(1)^2-4(1)+8 \\y=2-4+8 \\y=6$

因此，顶点出现在点上 (1,6) ．

步骤4:通过绘制函数的图形来验证顶点。

截图2016年01月12日上午11点10分31秒

上图验证了解。

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示例问题3:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

对下面的二次方程做平方，求出0。

x^2-6x=4

可能的答案:

$x=-3\pm\sqrt{10}$

$x=-3\pm\sqrt{13}$

$x=3\pm\sqrt{13}$

$x=3\pm\sqrt{10}$

$x=\pm\sqrt{13}$

正确答案:

$x=3\pm\sqrt{13}$

解释：

就公共核心标准的目的而言，通过完成平方的方式进行分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

在寻找等价形式的二次方程时，主要有两种方法。

我保理。

2完全平方

这个问题需要用方法二来解决。完成了广场。重要的是要记住，函数的零点是图穿过的区域设在。换句话说，求一个函数的根就是求它值结果等于零。

对于这个特定的问题，步骤如下。

第一步:从数学上确定完成方框的方式。

给定一个函数,

0=ax^2+bx+c

把除以2，然后平方，然后把它加到方程两边。

假设 a=1 ，

$\left(\frac{b}{2}\right)^2=ax^2+bx\ \ \ \ \ \ \left(\frac{b}{2}\right)^2 \ \ \ +c$

$\downarrow$ $\uparrow$

$\left(\frac{b}{2}\right)^2\rightarrow\uparrow$

那么因式就变成了，

$\left(\frac{b}{2} \right )^2=\left(ax+\left(\frac{b}{2} \right )\right)^2+c$

回想一下, a,b,c 是常数。

第二步:求解．

应用上述步骤来解决这个特定的问题。

第一步:从数学上确定完成方框的方式。

$\\x^2-6x=4 \\x^2-6x-4=0$

a=1; b=-6

$\left(\frac{-6}{2}\right)^2=x^2-6x \ \ + \left(\frac{-6}{2}\right)^2 \ \ \ -4$

$\downarrow$ $\uparrow$

$\left(\frac{-6}{2}\right)^2\rightarrow\uparrow$

简化的结果,

$(-3)^2=x^2-6x \ \ \ +(-3)^2 \ \ \ -4$

那么因式就变成了，

$\\ (-3)^2=(x-3)^2-4 \\9=(x-3)^2-4$

第二步:求解．

步骤3:验证结果并检查是否有多余的解决方案。

使用相反的操作将常数从一边移动到另一边。

$\\ 9=(x-3)^2-4 \\4+9=(x-3)^2-4+4 \\13=(x-3)^2$

回想一下平方号的相反运算是根号。

$\\ \sqrt{13}=\sqrt{(x-3)^2} \\ \pm\sqrt{13}=x-3$

取一个数字的平方根会得到两个值，一个正一个负。

$\\ 3\pm \sqrt{13}=x-3+3 \\3\pm\sqrt{13}=x$

步骤3:验证结果。

报告一个错误

示例问题4:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

把给定的方程因式分解。

y=x^2-2x-24

可能的答案:

y=(x+6)(x-4)

y=(x-6)(x+4)

y=(x-6)(x-4)

y=(x-6)(x+2)

y=(x+6)(x+4)

正确答案:

y=(x-6)(x+4)

解释：

就公共核心标准的目的而言，使用因子分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别函数的给出形式。

回想一下二次方程的标准形式是，

y=ax^2+bx+c ．

步骤2:识别原始函数的因式形式。

回想一下二次方程的因式分解形式是，

y=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)

在哪里 a_1 而且 a_2 的因素而且 c_1 而且 c_2 的因素的,

$a_1\cdot c_2+a_2\cdot c_2=b$

$\\a_1\cdot a_2=a \\c_1\cdot c_2=c$

第三步:验证结果。

对这个特定问题使用上述步骤如下所示。

步骤1:识别函数的给出形式。

y=x^2-2x-24

因此,

a=1;b=-2;c=-24

步骤2:识别原始函数的因式形式。

首先，确定因素而且．

$a=1\rightarrow a_1=1; a_2=1$

$\\c=-24 \\ \rightarrow c_1=-1; c_2=24 \\ \rightarrow c_1=-2; c_2=12 \\ \rightarrow c_1=-3; c_2=8 \\ \rightarrow c_1=-4; c_2=6 \\ \rightarrow c_1=-6; c_2=4 \\ \rightarrow c_1=-8; c_2=3 \\ \rightarrow c_1=-12; c_2=2 \\ \rightarrow c_1=-24; c_2=1$

从这里求因子当它们加在一起的时候会得到 b=-2 ．

$\\c_1+c_2=-1+24=23 \\c_1+c_2=-2+12=10 \\c_1+c_2=-3+8=5 \\c_1+c_2=-4+6=2 \\ {\color{Blue} c_1+c_2=-6+4=-2} \\c_1+c_2=-8+3=-5 \\c_1+c_2=-12+2=-10 \\c_1+c_2=-24+1=-23$

因此函数的因式形式如下所示。

$\\y=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) \\y=(x+-6)(x+4) \\y=(x-6)(x+4)$

第三步:验证结果。

要验证分解后的形式等价于原始函数，可以利用每一项的分配律将二项式相乘。要做到这一点，先将第一项相乘，然后将外部项相乘，然后将内部项相乘，最后将最后项相乘。一旦乘法运算完成，将相似的项组合起来简化。

$\\ y=(x-6)(x+4) \\y=x\cdot x+x\cdot 4+-6\cdot x+-6\cdot 4 \\y=x^2+4x-6x-24 \\y=x^2-2x-24$

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示例问题5:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

把下面的等式因式分解。

y=x^2+x-2

可能的答案:

(x-2)(x+3)

(x-1)(x+2)

(x+2)(x+3)

(x+1)(x-3)

(x-1)(x-2)

正确答案:

(x-1)(x+2)

解释：

就公共核心标准的目的而言，使用因子分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别函数的给出形式。

回想一下二次方程的标准形式是，

y=ax^2+bx+c ．

步骤2:识别原始函数的因式形式。

回想一下二次方程的因式分解形式是，

y=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)

在哪里 a_1 而且 a_2 的因素而且 c_1 而且 c_2 的因素的,

$a_1\cdot c_2+a_2\cdot c_2=b$

$\\a_1\cdot a_2=a \\c_1\cdot c_2=c$

第三步:非常好的结果。

对这个特定问题使用上述步骤如下所示。

步骤1:识别函数的给出形式。

y=x^2+x-2

因此,

a=1;b=1;c=-2

步骤2:识别原始函数的因式形式。

首先，确定因素而且．

$a=1\rightarrow a_1=1; a_2=1$

$\\c=-2 \\ \rightarrow c_1=-1; c_2=2 \\ \rightarrow c_1=-2; c_2=1$

从这里求因子当它们加在一起的时候会得到 b=1 ．

$\\ {\color{Blue} c_1+c_2=-1+2=1} \\c_1+c_2=-2+1=-1$

因此函数的因式形式如下所示。

$\\y=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) \\y=(x+-1)(x+2) \\y=(x-1)(x+2)$

第三步:验证结果。

$\\ y=(x-1)(x+2) \\y=x\cdot x+x\cdot 2+-1\cdot x+-1\cdot 2 \\y=x^2+2x-1x-2 \\y=x^2+x-2$

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示例问题6:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

将下面的函数因式分解。

y=3x^3+12x^2+9x

可能的答案:

y=3x(x+1)(x+3)

y=3x(x-1)(x-3)

y=3x(x+1)(x-3)

y=3x(x-1)(x+3)

y=3x(-x+1)(x+3)

正确答案:

y=3x(x+1)(x+3)

解释：

就公共核心标准的目的而言，使用因子分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别函数的给出形式。

回想一下二次方程的标准形式是，

y=ax^2+bx+c ．

步骤2:识别原始函数的因式形式。

回想一下二次方程的因式分解形式是，

y=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)

在哪里 a_1 而且 a_2 的因素而且 c_1 而且 c_2 的因素的,

$a_1\cdot c_2+a_2\cdot c_2=b$

$\\a_1\cdot a_2=a \\c_1\cdot c_2=c$

第三步:验证结果。

对这个特定问题使用上述步骤如下所示。

步骤1:识别函数的给出形式。

y=3x^3+12x^2+9x

因此,

$\\y=x(3x^2+12x+9) \\y=3x(x^2+4x+3)$

a=1;b=4;c=3

步骤2:识别原始函数的因式形式。

首先，确定因素而且．

$a=1\rightarrow a_1=1; a_2=1$

$\\c=3 \\ \rightarrow c_1=1; c_2=3 \\ \rightarrow c_1=-1; c_2=-3$

从这里求因子当它们加在一起的时候会得到 b=12 ．

$\\c_1+c_2=b \\ {\color{Blue} c_1+c_2=1+3=4} \\c_1+c_2=-1+-3=-4$

因此函数的因式形式如下所示。

$\\y=3x(a_1x+c_1)(a_2x+c_2) \\y=3x(x+1)(x+3)$

第三步:验证结果。

$\\ y=3x(x+1)(x+3) \\y=3\cdot x\cdot x\cdot x+3\cdot x\cdot x\cdot 1+3\cdot3\cdot x \cdot x+3\cdot x\cdot 1\cdot 3\cdot 3 \cdot x \\y=3x^3+3x^2+9x^2+9x \\y=3x^3+12x^2+9$

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示例问题7:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

把下面的等式因式分解。

y=x^2-16

可能的答案:

y=(x-2)(x+8)

y=(x-4)(x+4)

y=(x-8)(x+2)

y=(x+4)(x+4)

y=(x-4)(x-4)

正确答案:

y=(x-4)(x+4)

解释：

就公共核心标准的目的而言，使用因子分解属于使用不同表示概念的分析函数的群集C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:识别函数的一般形式。

$\\y=a^2x^2-b^2 \\y=(ax-b)(ax+b)$

这就是所谓的平方差。

第二步:确定已知的内容。

$\\a^2=1\rightarrow a=1 \\b^2=16\rightarrow b=4$

第三步:将已知值代入第一步中求得的完全平方差中。

$\\y=(1x-4)(1x+4) \\y=(x-4)(x+4)$

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示例问题8:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

下面这条抛物线的对称线在哪里?

$y=\frac{1}{3}x^2-2x+5$

可能的答案:

x=3

x=-3

x=2

x=-2

x=5

正确答案:

x=3

解释：

对于公共核心标准的目的，在使用不同表示概念的分析函数的簇C中找到对称线(CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用技术绘制函数图。

截图2016年01月20日上午9点04分23分

第二步:识别计算抛物线顶点的公式。

的顶点的坐标可以用下面的公式求得。

$x=-\frac{b}{2a}$

替换这个特定函数的值会得到以下结果。

$\\ x=-\frac{b}{2a} \\ \\x=-\frac{-2}{2\left(\frac{1}{3} \right )} \\ \\x=\frac{2}{\frac{2}{3}} \\ \\x=2\cdot \frac{3}{2}=3$

步骤3:通过绘图来验证值在函数的顶点代表对称线。

截图2016年01月20日上午9点04分23分

因此，对称线发生在 x=3 ．

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示例问题9:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

通过因式分解求出下列函数的零点。

y=36x^2-81

可能的答案:

$x=\pm\frac{3}{2}$

$x=\pm\frac{1}{2}$

$x=\pm\frac{2}{3}$

$x=\pm\frac{1}{3}$

$x=\pm\frac{9}{2}$

正确答案:

$x=\pm\frac{3}{2}$

解释：

为了实现公共核心标准的目的，使用分解法来定位一个函数的零位，该函数属于使用不同表示概念的分析函数的聚类C (CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:识别函数的一般形式。

$\\y=a^2x^2-b^2 \\y=(ax-b)(ax+b)$

这就是所谓的平方差。

第二步:确定已知的内容。

$\\a^2=36\rightarrow a=6 \\b^2=81\rightarrow b=9$

第三步:将已知值代入第一步中求得的完全平方差中。

$\\y=(6x-9)(6x+9)$

步骤4:通过将每个二项式设为零，求出函数的零点．

$\\6x-9=0 \\6x=9 \\ \\x=\frac{9}{6} \\\\ x=\frac{3}{2}$ $\\6x+9=0 \\6x=-9 \\ \\x=\frac{-9}{6} \\\\ x=-\frac{3}{2}$

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示例问题10:分解和补全平方:Ccss.Math.Content.Hsf If.C.8a

下面这个函数的对称线在哪里?

y=4x^2+7

可能的答案:

x=7

x=0

x=4

x=1

正确答案:

x=0

解释：

对于公共核心标准的目的，在使用不同表示概念的分析函数的簇C中找到对称线(CCSS.Math.content.HSF-IF.C.8)。

知道了这个标准及其相关的概念，我们现在就可以一步一步地解决问题了。

第一步:使用技术绘制函数图。

截图2016年01月20日上午9点14分30秒

第二步:识别计算抛物线顶点的公式。

的顶点的坐标可以用下面的公式求得。

$x=-\frac{b}{2a}$

替换这个特定函数的值会得到以下结果。

$\\ x=-\frac{b}{2a} \\ \\x=-\frac{0}{2(4)} \\ \\x=\frac{0}{8} \\ \\x=0$

步骤3:通过绘图来验证值在函数的顶点代表对称线。

截图2016年01月20日上午9点14分30秒

因此，对称线发生在 x=0 ．

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