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微积分3:微分

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例子问题

←之前 1 2 3. 下一个→

例子问题1:差异

计算以下函数的微分。

$z=e^{x^2+4y^2}\sin(y)$

可能的答案:

$dz=8y\cos(y)e^{x^2+4y^2} dy$

$dz=2xe^{x^2+4y^2}\sin(y)dx$

$dz=2xe^{x^2+4y^2}\sin(y)+8y\cos(y)e^{x^2+4y^2}$

$dz=2xe^{x^2+4y^2}\sin(y)$

$dz=2xe^{x^2+4y^2}\sin(y)dx+(8y\sin(y)e^{x^2+4y^2}+cos(y)e^{x^2+4y^2}) dy$

正确答案:

$dz=2xe^{x^2+4y^2}\sin(y)dx+(8y\sin(y)e^{x^2+4y^2}+cos(y)e^{x^2+4y^2}) dy$

解释：

我们要做的是求导，记住一般方程。

$z=e^{x^2+4y^2}\sin(y)$

w=g(x,y,z)

dw=g_xdx+g_ydy+g_zdz

当对y求导时记得要用到乘法定则。

$dz=2xe^{x^2+4y^2}\sin(y)dx+(8y\sin(y)e^{x^2+4y^2}+cos(y)e^{x^2+4y^2}) dy$

报告错误

例子问题2:差异

求出总微分，，函数的

z=e^x + cos (y)

可能的答案:

dz=cos(y) dx-e^xdy

dz=xe^x dx+sin(y)dy

dz=e^x dx-sin(y)dy

dz=e^x dx+sin(y)dy

正确答案:

dz=e^x dx-sin(y)dy

解释：

总微分被定义为

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

我们首先发现

$\frac{\partial z}{\partial x}$

通过对。求导和治疗作为一个常数。

$\frac{\partial z}{\partial x}=e^x$

然后我们发现

$\frac{\partial z}{\partial y}$

通过对。求导和治疗作为一个常数。

$\frac{\partial z}{\partial y}=-sin(y)$

然后我们将这些偏导数代入第一个方程得到总微分

dz=e^x dx-sin(y)dy

报告错误

例子问题3:差异

求出总微分，，函数的

$z=e^{x^2+y^2}+sec(2x)$

可能的答案:

$dz=[2xe^{x^2+y^2}+2sec(2x)tan(2x)]dx+2ye^{x^2+y^2}dy$

$dz=[2sec(2x)tan(2x)]dx+2ye^{x^2+y^2}dy$

一个

$dz=[2xe^{x^2+y^2}]dx+2ye^{x^2+y^2}dy$

正确答案:

$dz=[2xe^{x^2+y^2}+2sec(2x)tan(2x)]dx+2ye^{x^2+y^2}dy$

解释：

总微分被定义为

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

我们首先发现 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 通过对。求导和治疗作为一个常数。

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}[e^{x^2+y^2}+sec(2x)]=2xe^{x^2+y^2}+2sec(2x)tan(2x)$

然后我们发现 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 通过对。求导和治疗作为一个常数。

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}[e^{x^2+y^2}+sec(2x)]=2ye^{x^2+y^2}$

然后我们将这些偏导数代入第一个方程得到总微分

$dz=[2xe^{x^2+y^2}+2sec(2x)tan(2x)]dx+2ye^{x^2+y^2}dy$

报告错误

问题4:差异

求出总微分，，函数的

$w=e^{x+y}tan(4z)+sin(z)$

可能的答案:

$dw=e^{x+y}tan(4z)dx+e^{x+y}tan(4z)}dy +[sec^2(4z)]dz$

$dw=e^{x+y}tan(4z)dx+e^{x+y}tan(4z)}dy +[4e^{x+y}sec^2(4z)+cos(z)]dz$

$dw=e^{x+y}dx+e^{x+y}}dy +[4e^{x+y}sec^2(4z)+cos(z)]dz$

正确答案:

$dw=e^{x+y}tan(4z)dx+e^{x+y}tan(4z)}dy +[4e^{x+y}sec^2(4z)+cos(z)]dz$

解释：

总微分被定义为

$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx+\frac{\partial w}{\partial y}dy+\frac{\partial w}{\partial z}dz$

我们首先发现 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 通过对。求导其他变量都是常数。

$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}[e^{x+y}tan(4z)+sin(z)]=e^{x+y}tan(4z)$

然后我们发现 $\frac{\partial w}{\partial y}$ 通过对。求导其他变量都是常数。

$\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}[e^{x+y}tan(4z)+sin(z)]=e^{x+y}tan(4z)$

然后我们发现 $\frac{\partial w}{\partial z}$ 通过对。求导其他变量都是常数。

$\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial y}[e^{x+y}tan(4z)+sin(z)]=4e^{x+y}sec^2(4z)+cos(z)$

然后我们将这些偏导数代入第一个方程得到总微分

$dw=e^{x+y}tan(4z)dx+e^{x+y}tan(4z)}dy +[4e^{x+y}sec^2(4z)+cos(z)]dz$

报告错误

例5:差异

求函数的总导数:

$f(x, y)=x\sec(y)+6y^4$

可能的答案:

$\sec(y)dx+(x\sec(y)\tan(y)+24y^3)dy$

$-\sec(y)dx+(x\sec(y)\tan(y)+24y^3)dy$

$\sec(y)dy+(x\sec(y)\tan(y)+24y^3)dx$

$(\sec(y)+x\sec(y)\tan(y)+24y^3)dy$

正确答案:

$\sec(y)dx+(x\sec(y)\tan(y)+24y^3)dy$

解释：

二元函数的总导数由以下公式给出:

f_x dx+f_ydy

为了求出给定函数的偏导数，我们必须将其他变量视为常数。

函数的偏导数是

$f_x=\sec(y)$

$f_y=x\sec(y)\tan(y)+24y^3$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ax=a$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec(x)=\sec(x)\tan(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

最终答案是

$\sec(y)dx+(x\sec(y)\tan(y)+24y^3)dy$

报告错误

例子问题6:差异

求函数的总导数:

$f(x, y)=\sqrt{x+y^2}+\ln(x^2)$

可能的答案:

$(\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}+\frac{2}{x})dx+(\frac{y}{\sqrt{x+y^2}})dy$

$(\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}+\frac{1}{x})dx+(\frac{y}{\sqrt{x+y^2}})dy$

$\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}+\frac{2}{x}+\frac{y}{\sqrt{x+y^2}}$

$(\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}+\frac{2}{x})dy+(\frac{y}{\sqrt{x+y^2}})dx$

正确答案:

$(\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}+\frac{2}{x})dx+(\frac{y}{\sqrt{x+y^2}})dy$

解释：

二元函数的总导数由

f_xdx+f_ydy

为了求出给定函数的偏导数，我们必须将其他变量视为常数。

偏导数是

$f_x=\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}+\frac{2}{x}$

$f_y=\frac{y}{\sqrt{x+y^2}}$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(u)=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$

报告错误

示例问题7:差异

求函数的总导数:

$f(x, y,z)=\cos(xy^2)+e^{z^2}$

可能的答案:

$-y^2\sin(xy^2)dx-2xy\sin(xy^2)dy$

$-y^2\sin(xy^2)dx-2xy\sin(xy^2)dy+2ze^{z^2}dz$

$-y^2\sin(xy^2)-2xy\sin(xy^2)+2ze^{z^2}$

$-y^2\sin(xy^2)dx+2xy\sin(xy^2)dy+2ze^{z^2}dz$

正确答案:

$-y^2\sin(xy^2)dx-2xy\sin(xy^2)dy+2ze^{z^2}dz$

解释：

函数的总导数 f(x, y, z) 是由

f_xdx+f_ydy+f_zdz

我们必须求偏导。为了求出给定函数的偏导数，我们必须将其他变量视为常数。

偏导数是

$f_x=-y^2\sin(xy^2)$

$f_y=-2xy\sin(xy^2)$

$f_z=2ze^{z^2}$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ax=a$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^u=e^u\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$

报告错误

例8:差异

求下列函数的总导数:

$f(x, y,z)=x^2y+\csc(z)$

可能的答案:

$2xdx-\csc(z)\cot(z)dz$

$2xydx+x^2dy+\csc(z)\cot(z)dz$

$2xydx+x^2dy-\csc(z)\cot(z)dz$

$2xy+x^2-\csc(z)\cot(z)$

正确答案:

$2xydx+x^2dy-\csc(z)\cot(z)dz$

解释：

函数的总导数由

f_xdx+f_ydy+f_zdz

为了求出给定函数的偏导数，我们必须将其他变量视为常数。

偏导数是

f_x=2xy

f_y=x^2

$f_z=-\csc(z)\cot(z)$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ax=a$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

报告错误

例子问题1:差异

求下列函数的微分:

$f(x, y, z)=x^5+\tan(y^2z)$

可能的答案:

$5x^4dx+2yz\sec^2(y^2z)dy+zy^2\sec^2(y^2z)dz$

$5x^4+\sec^2(y^2z)(2yz+y^2)$

$5x^4dx+y\sec^2(y^2z)dy+z\sec^2(y^2z)dz$

$5x^4dx+2yz\sec^2(y^2z)dy+y^2\sec^2(y^2z)dz$

正确答案:

$5x^4dx+2yz\sec^2(y^2z)dy+y^2\sec^2(y^2z)dz$

解释：

函数的微分由

f_xdx+f_ydy+f_zdz

我们必须求出函数的偏导。为了求出给定函数的偏导数，我们必须将其他变量视为常数。

偏导数是

f_x=5x^4

$f_y=2yz\sec^2(y^2z)$

$f_z=y^2\sec^2(y^2z)$

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \tan(x)=\sec^2(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ax=a$

报告错误

例子问题1:差异

求函数的微分

$f(x, y, z)=ze^y+\ln(x^2)$

可能的答案:

$\frac{2}{x^2}dx+ze^ydy+e^ydz$

$\frac{2}{x}dx+ze^ydy+e^ydz$

$\frac{2}{x}+e^y(z+1)$

$\frac{2}{x}dx+e^ydy+ze^ydz$

正确答案:

$\frac{2}{x}dx+ze^ydy+e^ydz$

解释：

函数的微分由

f_xdx+f_ydy+f_zdz

函数的偏导数是

$f_x=\frac{2}{x}$

f_y=ze^y

f_z=e^y

利用下列规则求出导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \ln(u)=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^x=e^x$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} ax=a$

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