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微积分3:偏导数

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例子问题

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例子问题1:限制

评估:

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,1)} \frac{x^2+xy}{y}$

可能的答案:

$\infty$

不存在

$-\infty$

正确答案:

解释：

因为我们不会有任何除以0的问题，我们可以在这个点上求值。

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,1)} \frac{x^2+xy}{y}=\frac{0^2+0\cdot1}{1}=0$

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例子问题1:限制

计算下面的极限。

$\small \lim_{(x,y)\to (1,0)} x^2+2xy+y^2$

可能的答案:

$\small 0$

$\small 2$

$\small \frac{1}{2}$

$\small 1$

正确答案:

$\small 1$

解释：

我们可以计算极限

$\small \lim_{(x,y)\to (1,0)} x^2+2xy+y^2$

只要简单地代入 $\small (x,y)=(1,0)$ 因为值定义在 $\small (1,0)$ 在这一点上。

所以我们得到

$\small \small \lim_{(x,y)\to (1,0)} x^2+2xy+y^2=1^2+2\cdot 0\cdot 1+0^2=1$ ．

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示例问题3:限制

计算下面的极限。

$\small \small \lim_{(x,y)\to (2,1)} 2x-5y$

可能的答案:

$\small 1$

$\small 2$

$\small -1$

$\small \frac{1}{2}$

正确答案:

$\small -1$

解释：

我们可以计算极限

$\small \small \lim_{(x,y)\to (2,1)} 2x-5y$

只要简单地代入 $\small \small (x,y)=(2,1)$ 因为值定义在 $\small \small (2,1)$ 在每一个值处 $\small \mathbb{R}^2$ ．

所以我们得到

$\small \small \small \lim_{(x,y)\to (2,1)} 2x-5y=2\cdot 2-5\cdot1=4-5=-1$ ．

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例子问题2:偏导数

评估 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{6x}{x^2+y}$

可能的答案:

不存在

其他答案都没有

正确答案:

不存在

解释：

如果我们试着沿着两条不同的路径求极限， y=x, y=2x ,我们有

$\lim_{(x,x)\to(0,0)}\frac{6x}{x^2+x}= \lim_{(x,x)\to(0,0)}\frac{6}{x+1} = 6$

和

$\lim_{(x,2x)\to(0,0)}\frac{6x}{x^2+(2x)} = \lim_{(x,2x)\to(0,0)}\frac{6}{x+2} = 3$

由于沿着这两条路径计算得到不同的值，因此不存在极限。

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示例问题3:偏导数

$\begin{align*}&\text{Evaluate the following limit:}\\&lim_{x\rightarrow13}-\frac{(x - 13)}{(12x - x^{2} + 13)}\end{align*}$

可能的答案:

-1/14

$\infty$

$-\infty$

1/14

正确答案:

1/14

解释：

$\begin{align*}&\text{We cannot simply plug in the value of }x=13\text{, as that would}\\&\text{create a zero value in the denominator. However, note that the expression}\\&-\frac{(x - 13)}{(12x - x^{2} + 13)}\\&\text{can be factored. This will allow us to find the limit:}\\&\frac{(x - 13)}{((x + 1)\cdot (x - 13))}\\&\frac{1}{(x + 1)}\\&lim_{x\rightarrow13}-\frac{(x - 13)}{(12x - x^{2} + 13)}= 1/14\end{align*}$

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示例问题6:限制

$\begin{align*}&\text{Evaluate the following limit:}\\&lim_{x\rightarrow12}\frac{(7x + x^{2} - 228)}{(1863x - 133x^{2} - 15x^{3} + x^{4} + 1980)}\end{align*}$

可能的答案:

$\infty$

$-\infty$

$\frac{ 31}{897}$

$-\frac{31}{897}$

正确答案:

$-\frac{31}{897}$

解释：

$\begin{align*}&\text{We cannot simply plug in the value of }x=12\text{, as that would}\\&\text{create a zero value in the denominator. However, note that the expression}\\&\frac{(7x + x^{2} - 228)}{(1863x - 133x^{2} - 15x^{3} + x^{4} + 1980)}\\&\text{can be factored. This will allow us to find the limit:}\\&\frac{((x - 12)\cdot (x + 19))}{((x + 1)\cdot (x + 11)\cdot (x - 12)\cdot (x - 15))}\\&\frac{(x + 19)}{((x + 1)\cdot (x + 11)\cdot (x - 15))}\\&lim_{x\rightarrow12}\frac{(7x + x^{2} - 228)}{(1863x - 133x^{2} - 15x^{3} + x^{4} + 1980)}= -\frac{31}{897}\end{align*}$

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示例问题7:限制

$\begin{align*}&\text{Evaluate the following limit:}\\&lim_{x\rightarrow2}-\frac{(14x + x^{2} - 32)}{(144x + 11x^{2} - x^{3} - 324)}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{ 9}{88}$

$-\infty$

$-\frac{9}{88}$

$\infty$

正确答案:

$-\frac{9}{88}$

解释：

$\begin{align*}&\text{We cannot simply plug in the value of }x=2\text{, as that would}\\&\text{create a zero value in the denominator. However, note that the expression}\\&-\frac{(14x + x^{2} - 32)}{(144x + 11x^{2} - x^{3} - 324)}\\&\text{can be factored. This will allow us to find the limit:}\\&\frac{((x - 2)\cdot (x + 16))}{((x - 2)\cdot (x + 9)\cdot (x - 18))}\\&\frac{(x + 16)}{((x + 9)\cdot (x - 18))}\\&lim_{x\rightarrow2}-\frac{(14x + x^{2} - 32)}{(144x + 11x^{2} - x^{3} - 324)}= -\frac{9}{88}\end{align*}$

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示例问题4:偏导数

$\begin{align*}&\text{Evaluate the following limit:}\\&lim_{x\rightarrow13}-\frac{(9x - x^{2} + 52)}{(2x + x^{2} - 195)}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{ 17}{28}$

$-\infty$

$\infty$

正确答案:

$\frac{ 17}{28}$

解释：

$\begin{align*}&\text{We cannot simply plug in the value of }x=13\text{, as that would}\\&\text{create a zero value in the denominator. However, note that the expression}\\&-\frac{(9x - x^{2} + 52)}{(2x + x^{2} - 195)}\\&\text{can be factored. This will allow us to find the limit:}\\&\frac{((x + 4)\cdot (x - 13))}{((x - 13)\cdot (x + 15))}\\&\frac{(x + 4)}{(x + 15)}\\&lim_{x\rightarrow13}-\frac{(9x - x^{2} + 52)}{(2x + x^{2} - 195)}=\frac{ 17}{28}\end{align*}$

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示例问题9:限制

$\begin{align*}&\text{Evaluate the following limit:}\\&lim_{x\rightarrow-1}-\frac{(x + 1)}{(3576x + 98x^{2} - 23x^{3} - x^{4} + 3456)}\end{align*}$

可能的答案:

$-\frac{1}{3315}$

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

$-\frac{1}{3315}$

解释：

$\begin{align*}&\text{We cannot simply plug in the value of }x=-1\text{, as that would}\\&\text{create a zero value in the denominator. However, note that the expression}\\&-\frac{(x + 1)}{(3576x + 98x^{2} - 23x^{3} - x^{4} + 3456)}\\&\text{can be factored. This will allow us to find the limit:}\\&\frac{(x + 1)}{((x + 1)\cdot (x - 12)\cdot (x + 16)\cdot (x + 18))}\\&\frac{1}{((x - 12)\cdot (x + 16)\cdot (x + 18))}\\&lim_{x\rightarrow-1}-\frac{(x + 1)}{(3576x + 98x^{2} - 23x^{3} - x^{4} + 3456)}= -\frac{1}{3315}\end{align*}$

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示例问题10:限制

$\begin{align*}&\text{Evaluate the following limit:}\\&lim_{x\rightarrow-18}-\frac{(x - x^{2} + 342)}{(764x + 48x^{2} + x^{3} + 4032)}\end{align*}$

可能的答案:

$-\frac{37}{8}$

$\frac{ 37}{8}$

$-\infty$

$\infty$

正确答案:

$-\frac{37}{8}$

解释：

$\begin{align*}&\text{We cannot simply plug in the value of }x=-18\text{, as that would}\\&\text{create a zero value in the denominator. However, note that the expression}\\&-\frac{(x - x^{2} + 342)}{(764x + 48x^{2} + x^{3} + 4032)}\\&\text{can be factored. This will allow us to find the limit:}\\&\frac{((x + 18)\cdot (x - 19))}{((x + 14)\cdot (x + 16)\cdot (x + 18))}\\&\frac{(x - 19)}{((x + 14)\cdot (x + 16))}\\&lim_{x\rightarrow-18}-\frac{(x - x^{2} + 342)}{(764x + 48x^{2} + x^{3} + 4032)}= -\frac{37}{8}\end{align*}$

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