例子问题
问题1:收敛与发散
这些级数中哪一个不能用比值检验正确地检验收敛/发散?(以下哪个系列没有通过比率测试?)
没有其他答案。
比率测试失败,当。否则级数绝对收敛,并将其发散。
测试系列,我们有
因此,比率测试在这里失败了。(读者可能很明显,这个系列已经出现了分歧。然而,我们必须记住,数学中的所有直觉都需要严格的证明。我们正在这里尝试。)
问题1:比值判别法
假设,。使用比率检验,我们可以对这个级数说些什么呢?
当我们使用比率检验时,我们不能得出结论。
它是收敛的。
当我们使用比率检验时,我们不能得出结论。
根据这个问题的要求,我们必须使用比率判别法。当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数要么收敛要么发散。
为此,我们需要计算:。在我们的例子中:
因此
。
我们知道
这意味着
由于L=1,通过比值检验,我们不能得出级数收敛性的结论。
问题1:比值判别法
我们考虑这个系列:,使用比值检验来确定级数的收敛类型。
这个级数是快速收敛的。
我们不能断定这个系列的性质。
它显然是分歧的。
我们不能断定这个系列的性质。
为了能够使用比率检验来得出结论,我们需要首先计算比率,然后使用当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数要么收敛要么发散。计算这个比值,我们得到,
。
我们有:
因此有:
很明显。
通过比值检验,我们不能断定级数的性质。
问题4:比值判别法
利用比值检验,
关于这个系列我们能说些什么呢?
在哪里是满足以下条件的整数:
我们不能用比值检验来研究这个级数。
当我们使用比率检验时,我们不能得出结论。
当我们使用比率检验时,我们不能得出结论。
让是这个级数的通项。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。
比率测试表明:
然后,如果
1) L<1,级数绝对收敛。
2) L>1,级数发散。
3) L=1,级数收敛或发散。
因此我们需要计算,
我们有,
因此:
。
我们知道
因此,
这意味着:
通过比值检验,我们不能得出级数性质的结论。我们将不得不使用另一个测试。
问题5:比值判别法
考虑以下系列:
在哪里为:
。用比值判别法,求出级数的性质。
我们不能用比率检验得出结论。
这个级数是收敛的。
我们不能用比率检验得出结论。
让是这个级数的通项。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。
当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数要么收敛要么发散。
我们需要评估,
我们有:
。
因此:
。我们知道,
因此
这意味着:
。
通过比值检验,我们不能得出级数性质的结论。我们将不得不使用另一个测试。
问题41:微积分中的级数
使用比率检验来确定下面的级数是收敛的还是发散的。
这个系列是发散的。
这个级数是收敛的。
这个系列是发散的。
要使用比率检验,我们需要计算比率
。然后当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数收敛或发散。
我们有我们有:
。
既然我们可以这样写:
因此因为级数一定是发散的。
因此我们得出结论,该级数是发散的。
问题7:比值判别法
使用比率检验,你对以下系列有什么看法?
这个级数有两个极限。
这个系列是发散的。
这个级数是收敛的。
级数会收敛发散,当它接近。
这个级数是收敛的。
我们将使用比较检验来总结这个级数的收敛性。为了证明主级数是收敛的,我们必须借助于比率检验。
当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数收敛或发散。
我们首先注意到,
其中n是正整数。
我们有。通过比较检验,我们可以证明这个级数是收敛的,那么通过比较检验,级数也是收敛的。
我们现在考虑这个系列:。我们有:
由于通过比值检验,我们得出了该级数收敛的结论。
这表明我们的级数是收敛的。
问题8:比值判别法
假设一个级数有正项。
如果关于级数的收敛性我们能说些什么呢?
我们需要知道前两项。
我们需要知道,的显式公式。
这个系列是发散的。
这个级数是收敛的。
我们不能下结论。
这个系列是发散的。
已知这个级数有正项。我们知道
。这意味着。
现在我们注意到。
然后当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数收敛或发散。
自这个级数会发散。
比值检验让我们得出结论,该级数是发散的。
问题9:比值判别法
我们将考虑以下系列:
。
你能用比值检验来判断这个级数的性质吗?假设。
我们需要知道确切的值。
这个级数是收敛的。
级数收敛于。
这个系列的性质取决于。
我们不能断定这个系列的性质。
我们不能断定这个系列的性质。
请注意和级数总是正的。
为了能够使用比率检验,我们必须计算比率:
。然后找到。当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数收敛或发散。
我们有因此:
因此:
自
通过比值检验,我们不能断定级数的性质。
问题10:比值判别法
我们考虑以下系列:
在哪里。
使用比值检验,你能对级数的性质说些什么?
是收敛的还是发散的?
这个级数是收敛的。
我们不能用比率检验得出结论。
这个系列是发散的。
我们不能用比率检验得出结论。
我们将使用比率检验,首先注意到级数是正的。
我们将计算比率:
。注意:
因此:
现在我们有和
我们有
当L<1时,级数绝对收敛,当L>1时,级数发散,当L=1时,级数收敛或发散。
因此,比值检验是不确定的。我们将需要使用另一个测试。