例子问题
例子问题1:比值判别法
这些级数中哪一个不能用比值检验正确地检验收敛/发散?(以下哪个系列不符合比率检验?)
其他答案都没有。
当.否则级数绝对收敛于,如果发散.
测试系列,我们有
因此,比率检验在这里不成立。(对于读者来说,这个系列已经出现了明显的分歧。然而,我们必须记住,数学中的所有直觉都需要严格的证明。我们正在尝试。)
例子问题1:比值判别法
假设,.使用比值检验,我们可以对级数说些什么:
当我们使用比值检验时,我们不能得出结论。
它是收敛的。
当我们使用比值检验时,我们不能得出结论。
根据这个问题的要求,我们将不得不使用比率检验。如果L<1则级数绝对收敛,L>1则级数发散,如果L=1则级数既可以收敛也可以发散。
为此,我们需要计算:.在我们的例子中:
因此
.
我们知道
这意味着
由于由比值检验L=1,我们不能得出级数收敛的结论。
例子问题1:比值判别法
我们考虑这个系列:,利用比值检验来确定级数的收敛类型。
级数是快速收敛的。
我们无法对这个系列的性质作出结论。
这显然是有分歧的。
我们无法对这个系列的性质作出结论。
为了能够使用比率检验来得出结论,我们需要首先计算比率,然后使用如果L<1则级数绝对收敛,L>1则级数发散,如果L=1则级数既可以收敛也可以发散。计算我们得到的比率,
.
我们有:
因此有:
很明显.
通过比值检验,我们不能得出关于级数性质的结论。
问题4:比值判别法
使用比值判别法,
关于这个系列我们能说些什么呢?
在哪里是一个整数,满足:
我们不能用比值判别法来研究这个级数。
我们用比值判别法不能得出结论。
我们用比值判别法不能得出结论。
让是这个级数的总称。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。
比率检验说明:
然后,如果
1) L<1级数绝对收敛。
2) L>1级数发散。
3) L=1,级数要么收敛要么发散。
因此我们需要评估,
我们有,
因此:
.
我们知道
因此,
这意味着:
通过比值检验,我们不能得出关于级数性质的结论。我们将不得不使用另一种测试。
例5:比值判别法
考虑以下系列:
在哪里由:
.利用比值检验,找出级数的性质。
我们不能用比值判别法得出结论。
级数是收敛的。
我们不能用比值判别法得出结论。
让是这个级数的总称。我们将使用比率检验来检验级数的收敛性。
如果L<1则级数绝对收敛,L>1则级数发散,如果L=1则级数既可以收敛也可以发散。
我们需要评估,
我们有:
.
因此:
.我们知道,
因此
这意味着:
.
通过比值检验,我们不能得出关于级数性质的结论。我们将不得不使用另一种测试。
问题41:微积分级数
使用比率检验来确定下面的级数是收敛的还是发散的。
这个级数是发散的。
级数是收敛的。
这个级数是发散的。
要使用比率检验,我们需要计算比率
.然后如果L<1级数绝对收敛,L>1级数发散,如果L=1级数要么收敛,要么发散。
我们有我们有:
.
因为我们可以这样写:
因此因为级数必须发散。
因此,我们得出该级数是发散的。
示例问题7:比值判别法
使用比率检验,你可以对以下系列说些什么:
这个级数有两个极限。
这个级数是发散的。
级数是收敛的。
级数收敛,当接近时发散.
级数是收敛的。
我们将使用比较检验来总结这个级数的收敛性。为了证明主级数是收敛的,我们必须使用比值检验。
如果L<1级数绝对收敛,L>1级数发散,如果L=1级数要么收敛,要么发散。
我们首先注意到,
其中n是正整数。
我们有.通过比较检验,如果我们能证明级数通过比较检验,级数是收敛的吗也是收敛的。
我们现在考虑这个系列:.我们有:
由于通过比值检验,我们得出该级数是收敛的。
这表明级数是收敛的。
例8:比值判别法
假设一个级数有正项。
如果关于级数的收敛性我们能说些什么呢?
我们需要知道前两项。
我们需要知道显式公式.
这个级数是发散的。
级数是收敛的。
我们不能下结论。
这个级数是发散的。
已知这个级数的项是正的。我们知道
.这意味着.
现在我们注意到.
然后如果L<1级数绝对收敛,L>1级数发散,如果L=1级数要么收敛,要么发散。
自级数会发散。
比值判别法使我们得出级数是发散的结论。
问题9:比值判别法
我们将考虑以下系列:
.
用比值判别法可以看出这个级数的性质吗?假设.
我们需要知道的确切值.
级数是收敛的。
级数收敛于.
级数的性质取决于.
我们不能对这个系列的性质作出结论。
我们不能对这个系列的性质作出结论。
注意,对于而且级数总是正的。
为了能够使用比率检验,我们必须计算比率:
.然后找到.如果L<1级数绝对收敛,L>1级数发散,如果L=1级数要么收敛要么发散。
我们有因此:
因此:
自
通过比值检验,我们不能得出关于级数性质的结论。
例子问题10:比值判别法
我们考虑以下系列:
在哪里.
用比值判别法可以看出级数的性质是什么?
它是收敛的还是发散的?
级数是收敛的。
我们不能用比值检验得出结论。
这个级数是发散的。
我们不能用比值检验得出结论。
我们将使用比率检验,首先注意级数是正的。
我们将计算比率:
.注意:
因此:
现在我们有而且
我们有
如果L<1级数绝对收敛,L>1级数发散,如果L=1级数要么收敛,要么发散。
因此,比率检验是不确定的。我们需要使用另一种测试。