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微积分2：参数计算

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示例问题

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示例问题#1：参量计算

计算由向量函数绘制的曲线的长度 ${\mathbf{v}(t)} = \left \langle t,\sqrt{2}}e^t,\frac{1}{2}e^{2t} \right \rangle,$ 从…起 0<t<1 .

可能的答案:

其他答案都没有。

e^2 +e^4

ln(2) -1

e+1

$\frac{1}{2}(e^2+1)$

正确答案:

$\frac{1}{2}(e^2+1)$

解释:

空间中参数曲线的弧长公式为 $\int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{d\mathbf{v}_1}{dt})^2 +(\frac{d\mathbf{v}_2}{dt})^2 +(\frac{d\mathbf{v}_3}{dt})^2} dt$ 为 a <t<b .

以各矢量功能的部件的衍生物和成本公式给出代的值

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + 2e^{2t} + e^{4t}} dt$

我们需要认识到在平方根下面有一个完全平方，我们可以把它写成

$\int_{0}^{1} \sqrt{(e^{2t} + 1)^2} dt$

解决这个问题

$\int_{0}^{1} e^{2t}+1 dt = [\frac{1}{2}e^{2t} +t]_0^1$ $= \bigg(\frac{1}{2}e^2+1\bigg)-\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \frac{1}{2}(e^2+1)$

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问题2:参量计算

计算 $\frac{dy}{dx}$ 当时 (1,2) 关于由参数方程定义的曲线

x(t) = e^t , y(t)=ln(t+1)+t^2 +2

可能的答案:

ln(3)

其他答案都没有

ln(2)

正确答案:

其他答案都没有

解释:

正确答案是.

我们用这个方程

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{1}{t+1}+2t+0}{e^t}$

但是我们需要一个值代入我们的导数。我们可以得到这样的一个通过设置 x(t) =1, y(t) =2 正如我们给出的观点所暗示的。

1 = e^t $\Rightarrow t =0$
$2 = ln(t+1)+t^2+2 \Rightarrow t=0$
因为我们的价值观火柴 t=0 是我们正确的价值观。将其代入导数并简化，我们得到

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问题3:参量计算

下面哪个答案是通过从下列参数方程中消去参数得到的方程?

x=t^2+3t+5

$y=\frac{3}{2}t-6$

可能的答案:

$x=\frac{3}{2}y^2+16y+\frac{4}{3}$

$x=\frac{4}{9}y^2+\frac{22}{3}y+33$

$y=\frac{4}{9}x^2+\frac{22}{3}x+33$

$y=\frac{3}{2}x^2+16x+\frac{4}{3}$

$y=-\frac{14}{3}x^2+\frac{4}{7}x-4$

正确答案:

$x=\frac{4}{9}y^2+\frac{22}{3}y+33$

解释:

当问题要求我们消除参数,这意味着我们想在某种程度上摆脱变量t,只剩下一个方程,用x和y。虽然x是一个多项式方程,使其更难求解t,我们可以看到,y的方程可以很容易地解决t:

$y=\frac{3}{2}t-6$

$t=\frac{2}{3}y+4$

现在我们有了一个只用y表示的t的表达式，我们可以把这个代入x的方程并化简，我们将会得到一个只用x和y表示的方程:

$x=t^2+3t+5=(\frac{2}{3}y+4)^2+3(\frac{2}{3}y+4)+5$

$x=\frac{4}{9}y^2+\frac{16}{3}y+16+2y+12+5$

$x=\frac{4}{9}y^2+\frac{22}{3}y+33$

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问题#4:参量计算

认为 x=cos(t) 和 y=sin(t) .找到弧长 $0\leq t \leq \pi$ .

可能的答案:

$\frac{\pi}{2}$

$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

$2\pi$

$\sqrt{\pi}$

$\pi$

正确答案:

$\pi$

解释:

编写参数化曲线的弧长公式。

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\:dt$

查找衍生物。该界限问题说明中给出。

$\frac{dx}{dt}=-sin(t)$

$\frac{dy}{dt}=cos(t)$

$L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{(-sin(t))^2+(cos(t))^2}\:dt$

$L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{sin(t)^2+cos(t)^2}\:dt$

$L=\int_{0}^{\pi}1\:dt =[t]_{0}^{\pi}= \pi$

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示例问题#5：参量计算

解决 $\frac{dy}{dx}$ 如果 $y=7t^{2}-12$ 和 $x=5t^{2}+2$ .

可能的答案:

$-\frac{7}{5}$

$\frac{5}{7}$

以上都不是

$-\frac{5}{7}$

$\frac{7}{5}$

正确答案:

$\frac{7}{5}$

解释:

给定的方程和而言,，可得参数方程的导数为:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ ,因为条款将取消。

使用电源规则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 鉴于 $y=7t^{2}-12$ 和 $x=5t^{2}+2$ :

$\frac{dy}{dt}=(2)7t^{2-1}-(0)12=14t$

$\frac{dx}{dt}=(2)5t^{2-1}+(0)2=10t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{14t}{10t}=\frac{7}{5}$ .

报告错误

示例问题＃6：参量计算

解决 $\frac{dy}{dx}$ 如果 $y=9t^{2}-13$ 和 $x=t^{2}+15$ .

可能的答案:

$-\frac{1}{9}$

$\frac{1}{9}$

以上都不是

正确答案:

解释:

给定的方程和而言,，可得参数方程的导数为:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ ,因为条款将取消。

使用电源规则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 鉴于 $y=9t^{2}-13$ 和 $x=t^{2}+15$ :

$\frac{dy}{dt}=(2)9t^{2-1}-(0)13=18t$

$\frac{dx}{dt}=(2)t^{2-1}+15=2t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{18t}{2t}=9$

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示例问题#7：参量计算

解决 $\frac{dy}{dx}$ 如果 y=2t-9 和 x=5t+10 .

可能的答案:

$\frac{2}{5}$

$-\frac{2}{5}$

以上都不是

$\frac{5}{2}$

$-\frac{5}{2}$

正确答案:

$\frac{2}{5}$

解释:

因为我们有两个方程 y=2t-9 和 x=5t+10 ，我们可以找到 $\frac{dy}{dx}$ 通过除以两个方程的导数-因此：

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 自根据分数划分的标准规则，术语相互抵消。

为了找到和在美国，让我们使用权力法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ :

$y=2t-9\rightarrow \frac{dy}{dt}=(1)2t^{1-1}-0(9)=2$

$x=5t+10\rightarrow\frac{dx}{dt}=(1)5t^{1-1}+(0)10=5$

因此,

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2}{5}$ .

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例子问题#8:参量计算

解决 $\frac{dy}{dx}$ 如果 y=7t+4 和 x=7t-8 .

可能的答案:

$\frac{1}{7}$

正确答案:

解释:

因为我们有两个方程 y=7t+4 和 x=7t-8 ，我们可以找到 $\frac{dy}{dx}$ 通过除以两个方程的导数-因此：

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 自根据分数划分的标准规则，术语相互抵消。

为了找到和在美国，让我们使用权力法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ :

$y=7t+4\rightarrow \frac{dy}{dt}=(1)7t^{1-1}+(0)4=7$

$x=7t-8\rightarrow\frac{dx}{dt}=(1)7t^{1-1}-(0)8=7$

因此,

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{7}{7}=1$ .

报告错误

问题9:参量计算

解决 $\frac{dy}{dx}$ 如果 $y=5t^{2}+6t-9$ 和 $x=2t^{2}-6t+12$ .

可能的答案:

以上都不是

$\frac{5t+3}{2t-3}$

$-\frac{4}{10}$

$\frac{4}{10}$

$\frac{5t-3}{2t-3}$

正确答案:

$\frac{5t+3}{2t-3}$

解释:

因为我们有两个方程 $y=5t^{2}+6t-9$ 和 $x=2t^{2}-6t+12$ ，我们可以找到 $\frac{dy}{dx}$ 通过除以两个方程的导数-因此：

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ （自术语通过分区分裂规则取消）。

为了找到和在美国，让我们使用权力法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ :

$y=5t^{2}+6t-9\rightarrow \frac{dy}{dt}=(2)5t^{2-1}+(1)6t^{1-1}-(0)9=10t+6$

$x=2t^{2}-6t-12\rightarrow \frac{dx}{dt}=(2)2t^{2-1}-(1)6t^{1-1}-(0)12=4t-6$

因此, $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{10t+6}{4t-6}=\frac{2(5t+3)}{2(2t-3)}=\frac{5t+3}{2t-3}$ .

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问题#10:参量计算

鉴于 x=5t-1 和 y=2t+9 ，弧的长度是多少 $0\leq t\leq3$ ?

可能的答案:

$3\sqrt{29}$

$2\sqrt{29}$

$\sqrt{29}$

$4\sqrt{29}$

正确答案:

$3\sqrt{29}$

解释:

为了求出弧长，必须使用参数曲线的弧长公式:

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt$ .

鉴于 x=5t-1 和 y=2t+9 ，我们可以使用使用电源规则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ ,获得

$\frac{dx}{dt}=(1)5t^{1-1}-(0)1=5$ 和 $\frac{dy}{dt}=(1)2t^{1-1}+(0)9=2$ .

代入这些值和我们的边界值进入弧长公式，我们得到：

$L=\int_{0}^{3}\sqrt{(5)^{2}+(2)^{2}}dt$

$L=\int_{0}^{3}(\sqrt{25+4})dt$

$L=\int_{0}^{3}(\sqrt{29})dt$

现在，使用积分的幂律 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 对所有 $n\neq0$ ，我们可以确定：

$L=(t\sqrt{29})_{0}^{3}\textrm{}$

$L=3\sqrt{29}-0\sqrt{29}$

$L=3\sqrt{29}$

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