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微积分2:反常积分

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例子问题

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例子问题1:反常积分

评估:

$\int_{1}^{\infty} \frac{2}{x^3}\: dx$

可能的答案:

$\frac{1}{4}$

$\infty$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

写出这种情况的公式规则:

$\int_{a}^{\infty} F(x)\:dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b}f(x)\:dx$

把这个规则应用于下面的问题。

$\int_{1}^{\infty} \frac{2}{x^3}\: dx= 2\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3}\: dx$

$2\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3}\: dx = 2\lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b}{x}^-^3}\:dx= 2\left[-\frac{x^-^2}{2}\right]_{1}^{b}$

$\lim_{b \to \infty} 2\left[-\frac{x^-^2}{2}\right]_{1}^{b}= \lim_{b \to \infty}2\left[-\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2}\right]$

$=\lim_{b \to \infty}{-\frac{1}{b^2}}+1 = 0+1 = 1$

报告错误

例子问题2:反常积分

评估 $\int_{1}^{\infty}\frac{3}{x^{2}}dx$ ．

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

根据公式法则，我们知道 $\int_{a}^{\infty}F(x)dx=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ ．因此我们知道 $\int_{1}^{\infty}\frac{3}{x^{2}}dx=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{1}^{b}\frac{3}{x^{2}}dx$ ．

继续计算:

$\int_{1}^{b}\frac{3}{x^{2}}dx$

$=3\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx$

$=3\int_{1}^{b}{x^{-2}}dx$

根据积分的幂次法则， $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 对所有 $n\neq-1$ 积分常数是任意的．因此:

$3\int_{1}^{b}{x^{-2}}dx$

$=3({\frac{x^{-2+1}}{-2+1}})_{1}^{b}$

$=3(\frac{x^{-1}}{-1}})_{1}^{b}$

$=3(-{\frac{1}{x}})_{1}^b$ ．

所以, $\lim_{b\rightarrow \infty }3[-{\frac{1}{x}}]_{1}^b$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }3[-{\frac{1}{b}-(-\frac{1}{1}})]$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }3[-{\frac{1}{b}+1]$

作为 $b\rightarrow \infty$ ， $\lim_{b\rightarrow \infty }3[-{\frac{1}{b}+1]=3(0+1)=3$

报告错误

例子问题3:反常积分

评估 $\int_{1}^{\infty}\frac{7}{x^{8}}dx$ ．

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

根据公式法则，我们知道 $\int_{a}^{\infty}F(x)dx=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ ．因此我们知道 $\int_{1}^{\infty}\frac{7}{x^{8}}dx=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{1}^{b}\frac{7}{x^{8}}dx$ ．

继续计算:

$\int_{1}^{b}\frac{7}{x^{8}}dx$

$=7\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{8}}dx$

$=7\int_{1}^{b}{x^{-8}}dx$

根据积分的幂次法则， $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 对所有 $n\neq-1$ 积分常数是任意的．因此:

$7\int_{1}^{b}{x^{-8}}dx$

$=7({\frac{x^{-8+1}}{-8+1}})_{1}^{b}$

$=7(\frac{x^{-7}}{-7}})_{1}^{b}$

$=7(-{\frac{1}{7x^{7}}})_{1}^b$ ．

所以, $\lim_{b\rightarrow \infty }7(-{\frac{1}{7x^{7}}})_{1}^b$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }7[-{\frac{1}{7b^{7}}-(-\frac{1}{7}})]$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }7[-{\frac{1}{7b^{7}}+\frac{1}{7}})]$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }[-{\frac{1}{b^{7}}+1}]$ ．

=0+1

报告错误

例子问题1:反常积分

评估 $\int_{1}^{\infty}\frac{4}{x^{5}}dx$ ．

可能的答案:

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

解释：

根据公式法则，我们知道 $\int_{a}^{\infty}F(x)dx=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ ．因此我们知道 $\int_{1}^{\infty}\frac{4}{x^{5}}dx=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{1}^{b}\frac{4}{x^{5}}dx$ ．

继续计算:

$\int_{1}^{b}\frac{4}{x^{5}}dx$

$=4\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{5}}dx$

$=4\int_{1}^{b}{x^{-5}}dx$

根据积分的幂次法则， $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 对所有 $n\neq-1$ 积分常数是任意的．因此:

$4\int_{1}^{b}{x^{-5}}dx$

$=4({\frac{x^{-5+1}}{-5+1}})_{1}^{b}$

$=4(\frac{x^{-4}}{-4}})_{1}^{b}$

$=4(-{\frac{1}{4x^{4}}})_{1}^b$ ．

所以, $\lim_{b\rightarrow \infty }4(-{\frac{1}{4x^{4}}})_{1}^b$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }4[-{\frac{1}{4b^{4}}-(-\frac{1}{4}})]$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }4[-{\frac{1}{4b^{4}}+\frac{1}{4}})]$

$=\lim_{b\rightarrow \infty }[-{\frac{1}{b^{4}}+1}]$ ．

=0+1

报告错误

例子问题1:反常积分

评估:

$\int_{2}^{5}\frac{1}{2x-8} \:dx$

可能的答案:

ln(5)-ln(2)

$\frac{1}{2}ln\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}ln(-2)$

$\frac{1}{2}ln(8)$

有分歧

正确答案:

有分歧

解释：

评估 $\int_{2}^{5}\frac{1}{2x-8} \:dx$ 注意，分母不存在于 x=4 ．积分必须重新写成极限形式。这是一个反常积分。

$\int_{2}^{5}\frac{1}{2x-8} \:dx= \lim_{a \to 4^-}\int_{2}^{a}\frac{1}{2x-8} \:dx+\lim_{b \to 4^+}\int_{b}^{5}\frac{1}{2x-8} \:dx$

求积分。

u=2x-8

$du=2\:dx$

$\frac{1}{2}du=dx$

$\frac{1}{2}\lim_{a \to 4^-}ln\left | \frac{1}{2x-8} \right |_{2}^{a} +\frac{1}{2}\lim_{b \to 4^+}ln\left | \frac{1}{2x-8} \right |_{b}^{5}$

通过对项求值并代入极限，我们会注意到积分从项开始发散 $\frac{1}{2}ln\left | \frac{1}{0} \right |-\frac{1}{2}ln\left | \frac{1}{0} \right |$ 因此不能取消。

正确的答案是:发散

报告错误

例子问题6:反常积分

计算以下积分:

$\int_{0}^{1}\frac{3}{x-1}dx$

可能的答案:

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

$-\infty$

解释：

我们在题目中给出的积分是不恰当的，因为积分的上限使分数的分母为0。

为了解决这个问题，我们使用以下技术:
$3\lim_{t\rightarrow 1^{-}}\int_{0}^{t}\frac{dx}{x-1}$

注意我们把三个移到积分外，然后再移到极限外。这可以用系数来做，让事情看起来更容易!

接下来，保持系数和极限，积分:

$3\lim_{t\rightarrow 1-}\ln \left | x-1 \right | |_{0}^{t}$

使用以下规则进行集成:

$\int \frac{dx}{x}=\ln\left | x \right |+C$

接下来，求解结果:

$3\lim_{t\rightarrow 1-} \ln(t-1)-0=3\cdot -\infty =-\infty$

我们在极限中从左边选择1因为1是积分的上限。

报告错误

示例问题7:反常积分

求反常积分

$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x)^2}dx$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

这个积分不存在。

正确答案:

解释：

首先，用负指数重写函数。

$\int_{0}^{\infty}(1+x)^{-2}dx$ ．

接下来做替换u=1+x。然后du = dx。我们也可以把积分的极限写成u的形式，当x趋于无穷时，u也趋于无穷。当 x=0, u =1+0 = 1 ．

用幂法则重写和求积分， $\int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c$ ，使我们:

$\int_{1}^{\infty}u^{-2}du=\lim_{u\to\infty}-u^{-1}-(-(1)^{-1})=0-(-1)=1$

报告错误

例8:反常积分

计算以下积分:

$\int_{1}^{\infty }\frac{dx}{x^3}$

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

积分是不恰当的，因为积分的上限(无穷大)。要计算积分，我们必须做以下工作:

$\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{1}^{t}\frac{dx}{x^3}$

现在积分并计算从t到1的积分:

$\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{-1}{2}t^{-2}+\frac{1}{2}(1^{-2})=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{-1}{2}t^{-2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

使用以下规则进行集成:

$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$

但因为这是定积分，我们代入上限然后减去代入下限得到的结果。

求极限时，包含t的项是分母为无穷大的分数，等于零。

报告错误

问题9:反常积分

计算以下积分:

$\int_{1}^{3}\frac{2}{x-1}dx$

可能的答案:

$-\infty$

$\ln(2)$

$\infty$

正确答案:

$\infty$

解释：

积分是不恰当的，因为积分的下限(创建 $\frac{1}{0}$ 等于无穷)。

因此，我们必须做到以下几点:

$\lim_{t\rightarrow 1+}\int_{t}^{3}\frac{2}{x-1}dx$

我们从右边求极限因为1是积分的下限。

接下来，我们把常数2移到极限前面，然后保持限制整合:

$2\lim_{t\rightarrow 1+}(\ln(2)-\ln\left | t-1\right |)$

在集成中使用了以下规则:

$\int \frac{dx}{x}=\ln(x)+C$

因为这是一个定积分，我们把上限和下限代入积分后得到的函数中(如上所示)。

最后，求极限:

$2\lim_{t\rightarrow 1+}(\ln(2)-\ln\left | t-1\right |)\equiv -(-\infty )=\infty$

极限的主要项是当自然对数趋于0时，也就是负无穷。这一项前面有一个负号，所以它变成了正无穷。

报告错误

例子问题10:反常积分

求反常积分

$\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\sqrt{2-x}}dx$

可能的答案:

$2\sqrt{2}$

积分是发散的

$\frac{9}{2}$

正确答案:

积分是发散的

解释：

代换可以让不定积分更容易求出来。让 u=2-x , du=-dx ．我们还需要重写积分的极限．当 $x=0,\ u=2$ 当 $x\to -\infty,\ u\to \infty$ ．

做了这些替换之后，积分就变成了

$\int_{2}^{\infty}\frac{-1}{\sqrt{u}}du=-\int_{2}^{\infty}u^{-\frac{1}{2}}du$

接下来需要用幂法则求不定积分。幂法则的一般情况是

$\int{x^n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ ．

因此，积分的值为

$-\int_{2}^{\infty}u^{-\frac{1}{2}}du=-\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right{|_{2}^{\infty}}$

$=\lim_{u\to \infty}-2u^{\frac{1}{2}}-(-2(2)^{\frac{1}{2}})=-\infty$

由于积分不趋近于有限值，它是发散的。

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