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问题1:发现积分

评估:

$\int_{-1}^{1} x ^{888}\; \mathrm{d} x$

可能的答案:

$\frac{ 2}{889}$

$\frac{ 1}{889}$

$\frac{ 1}{444}$

$\frac{ 1}{888}$

正确答案:

$\frac{ 2}{889}$

解释：

$\int x ^{n} \;\mathrm{d} x = \frac{ x ^{n+ 1 }}{n+1}$ ，

所以

$\int_{-1}^{1} x ^{888}\; \mathrm{d} x$

$=\frac{ x ^{888+ 1 } }{888+ 1} \left| \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}\right.$

$=\frac{ x ^{889} }{889} \left| \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}\right.$

$=\frac{ 1 ^{889} }{889} - \frac{ (-1) ^{889} }{889} = \frac{ 1 }{889} - \frac{ -1 }{889} = \frac{ 1 }{889} +\frac{ 1 }{889} = \frac{ 2}{889}$

报告错误

问题1:发现积分

评估:

$\int_{0}^{1} \ln (x^2 + 4x + 4) \; \mathrm{d}x$

可能的答案:

$= -2 + \ln \frac{27}{4}$

$= -1 + \ln \frac{27}{4}$

积分没有定义。

$= -1 + \ln \frac{729}{16}$

$= -2 + \ln \frac{729}{16}$

正确答案:

$= -2 + \ln \frac{729}{16}$

解释：

重写如下:

$\int_{0}^{1} \ln (x^2 + 4x + 4) \; \mathrm{d}x$

$= \int_{0}^{1} \ln (x +2)^2 \; \mathrm{d}x$

$= \int_{0}^{1} 2 \ln (x +2) \; \mathrm{d}x$

$= 2 \int_{0}^{1} \ln (x +2) \; \mathrm{d}x$

替代 u = x + 2 。然后 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 1$ 和 $\mathrm{d}x = \mathrm{d}x$ 积分限变成2和3，积分等于

$= 2 \int_{2}^{3} \ln u \; \mathrm{d}u$

$= \left.\begin{matrix} 2 \left (u \ln u - u \right ) \\ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3\\ \\ 2 \end{matrix}$

$= 2 [(3 \ln 3 - 3 ) - (2 \ln 2 - 2)]$

$= 2 [ 3 \ln 3 - 2 \ln 2 - 1 ]$

$= 6 \ln 3 - 4 \ln 2 - 2$

$= \ln 3^6 - \ln 2^4 - 2$

$= \ln 729 - \ln 16 - 2$

$= -2 + \ln \frac{729}{16}$

报告错误

问题1:发现积分

评估:

$\int_{4}^{16} \log_{4} x\; \mathrm{d}x$

可能的答案:

$36- \frac{ 6 }{\ln 2}$

$36- 6 \ln 2$

$28- \frac{ 6 }{\ln 2}$

$28- 6 \ln 2$

积分没有定义。

正确答案:

$28- \frac{ 6 }{\ln 2}$

解释：

$\int_{4}^{16} \log_{4} x\; \mathrm{d}x$

$= \int_{4}^{16} \frac{\ln x}{\ln 4}\; \mathrm{d}x$

$= \frac{1}{\ln 4} \int_{4}^{16}\ln x \; \mathrm{d}x$

$= \frac{1}{\ln 4} \cdot \left.\begin{matrix} \left (x \ln x - x \right ) \\ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 16\\ \\ 4 \end{matrix}$

$= \frac{1}{\ln 4} \cdot \left [ \left (16 \ln 16 - 16 \right ) - \left (4 \ln 4 - 4 \right ) \right ]$

$= \frac{1}{\ln 4} \cdot \left (16 \ln 16 - 4 \ln 4 - 12 \right )$

$= \frac{ 16 \ln 16 }{\ln 4} - \frac{ 4 \ln 4 }{\ln 4} - \frac{ 12 }{\ln 4}$

$= 16 \log_{4} 16 - 4 - \frac{ 12 }{\ln 4} = 16 \cdot 2 - 4 - \frac{ 12 }{2 \ln 2} = 32 - 4 - \frac{ 6 }{\ln 2} = 28- \frac{ 6 }{\ln 2}$

报告错误

问题1:发现积分

评估:

$\int_{1}^{ e/2} \ln 2x \; \mathrm{d}x$

可能的答案:

$1 - \ln 2$

$1 + \ln 2$

$\ln 2$

$\frac{1 }{2}- \ln 2$

$\frac{1 }{2}+ \ln 2$

正确答案:

$1 - \ln 2$

解释：

$\int_{1}^{ e/2} \ln 2x \; \mathrm{d}x$

替代 u = 2x ;所以 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 2$ 和 $\; \mathrm{d} x = \frac{1}{2}\mathrm{d} u$ 积分限变成2和;以上变成

$\frac{1}{2}\int_{2}^{ e} \ln u \; \mathrm{d}u$

$= \left.\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot u \ln u - u\\ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} e\\ \\ 2 \end{matrix}$

$= \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( e \ln e - e \right) - \left ( 2 \ln 2 - 2 \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( e \cdot 1 - e \right) - \left ( 2 \ln 2 - 2 \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \cdot \left [ \left ( e - e \right) - \left ( 2 \ln 2 - 2 \right) \right] = \frac{1}{2} \cdot \left [2 - 2 \ln 2 \right] = 1 - \ln 2$

报告错误

问题1:发现积分

下列哪个函数构成了这个语句 $\int_{0}^{3} f(x) \; \mathrm{d}x = 0$ 真的吗?

可能的答案:

$f(x) = \sin \frac{2 \pi x}{3}$

$f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{4}$

$f(x) = \sin 3 \pi x$

$f(x) = \sin \frac{ \pi x}{3}$

$f(x) = \sin \frac{3 \pi x}{2}$

正确答案:

$f(x) = \sin \frac{2 \pi x}{3}$

解释：

$\int_{0}^{3} \sin nx \; \mathrm{d}x = \left.\begin{matrix} -\frac{\cos nx}{n}\\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 3\\ \\ 0 \end{matrix} = -\frac{\cos 3n }{n} + \frac{\cos 0}{n} = \frac{1-\cos 3n }{n}$

因此，我们要找的值是的

$\int_{0}^{3} \sin nx \; \mathrm{d}x = \frac{1-\cos 3n }{n} = 0$ ，或者，同样地，

$1-\cos 3n = 0$ ,或

$\cos 3n = 1$

$3n = 0, 2 \pi, 4 \pi, 6\pi ...$

$n = 0, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, 2\pi ...$

唯一的选择这个集合的一个元素是

$f(x) = \sin \frac{2 \pi x}{3}$ 。

报告错误

问题1:发现积分

评估:

$\int_{0}^{4 \pi} | \cos x | \; \mathrm{d}x$

可能的答案:

$8 \sqrt{2}$

$4 \sqrt{2}$

$4 \sqrt{3}$

正确答案:

解释：

一种简单的方法是注意间隔 $[0, 4 \pi]$ ，被积函数

$f(x)=| \cos x |$

可以重写为

$f(x)= \begin{Bmatrix} \cos x & 0 \leq x \leq\frac{\pi}{2} \\ \\ - \cos x & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \\ \\ \cos x & \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2} \\ \\ - \cos x & \frac{5\pi}{2} \leq x \leq \frac{7\pi}{2} \\ \\ \cos x & \frac{7\pi}{2} \leq x \leq 4\pi \end{matrix}$

因此,

$\int_{0}^{4 \pi} | \cos x | \; \mathrm{d}x$

$= \int_{0}^{4 \pi} f(x) \; \mathrm{d}x$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \; \mathrm{d}x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(x) \; \mathrm{d}x + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} f(x) \; \mathrm{d}x + \int_{\frac{5\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{2}} f(x) \; \mathrm{d}x + \int_{\frac{7\pi}{2}}^{4 \pi} f(x) \; \mathrm{d}x$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x - \int_{\frac{5\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x + \int_{\frac{7\pi}{2}}^{4 \pi} \cos x \; \mathrm{d}x$

的不定积分 $g(x)= \cos x$ 是 $G(x) = \sin x$ 。我们可以求值在积分的每个边界处:

$G (0) = \sin 0 = 0$

$G\left ( \frac{\pi }{2}\right ) = \sin \frac{\pi }{2} = 1$

$G\left ( \frac{3\pi }{2}\right ) = \sin \frac{3\pi }{2} = -1$

$G\left ( \frac{5\pi }{2}\right ) = \sin \frac{5\pi }{2} = 1$

$G\left ( \frac{7\pi }{2}\right ) = \sin \frac{7\pi }{2} = -1$

$G (4\pi) = \sin 4\pi = 0$

然后

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x = \left ( G \left ( \frac{\pi }{2}\right ) - G (0)\right ) = 1 - 0= 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{ \frac{3\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x = \left ( G \left ( \frac{3\pi }{2}\right ) - G \left ( \frac{\pi }{2}\right )\right ) = -1 -1= -2$

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{ \frac{5\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x = \left ( G \left ( \frac{5\pi }{2}\right ) - G \left ( \frac{3\pi }{2}\right )\right ) = 1 - (-1)= 2$

$\int_{\frac{5\pi}{2}}^{ \frac{7\pi}{2}} \cos x \; \mathrm{d}x = \left ( G \left ( \frac{7\pi }{2}\right ) - G \left ( \frac{5\pi }{2}\right )\right ) = -1 -1= -2$

$\int_{\frac{7\pi}{2}}^{4 \pi} \cos x \; \mathrm{d}x = \left ( G (4\pi) -G \left ( \frac{7\pi }{2}\right ) \right ) = 0 - (-1) = 1$

原始积分可以表示为

$\int_{0}^{4 \pi} | \cos x | \; \mathrm{d}x = 1 - (-2) + 2 - (-2) + 1 = 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8$

报告错误

问题3:发现积分

评估:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi} y^{2}\cos x \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

可能的答案:

$\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$

$\frac{\pi \sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

正确答案:

解释：

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi} y^{2}\cos x \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

$=\int_{0}^{1}y^{2}\left (\int_{0}^{\pi}\cos x \; \mathrm{d} x \right )\; \mathrm{d} y$

我们评估

$\int_{0}^{\pi}\cos x \; \mathrm{d} x$

$= \left.\begin{matrix} \sin x\\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} \pi \\ \\ 0 \end{matrix}$

$= \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0$

原来的二重积分是

$=\int_{0}^{1}y^{2} \cdot 0 \; \mathrm{d} y = \int_{0}^{1} 0 \; \mathrm{d} y= 0$

报告错误

问题1:发现积分

评估:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi} y^{2}\sin x \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

可能的答案:

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{ \sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

正确答案:

$\frac{2}{3}$

解释：

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi} y^{2}\sin x \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

$=\int_{0}^{1}y^{2}\left (\int_{0}^{\pi}\sin x \; \mathrm{d} x \right )\; \mathrm{d} y$

我们评估

$\int_{0}^{\pi}\sin x \; \mathrm{d} x$

$= \left.\begin{matrix} -\cos x\\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} \pi \\ \\ 0 \end{matrix}$

$=- \cos \pi - (- \cos 0) = - (-1) - (-1) = 1 +1 = 2$

原来的二重积分是

$=\int_{0}^{1}y^{2} \cdot 2 \; \mathrm{d} y$

$= 2 \int_{0}^{1}y^{2} \; \mathrm{d} y$

$= 2 \cdot \left.\begin{matrix} \frac{y^{3}}{3}\\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 \\ \\ 0 \end{matrix}$

$=2 \cdot \left ( \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} \right ) =2 \cdot \left ( \frac{1 }{3} - \frac{0 }{3 \right )} = \frac{2 }{3}$

报告错误

问题3:发现积分

评估:

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\ln 2} e^{x}y^{2} \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{3}$

解释：

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\ln 2} e^{x}y^{2} \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

$= \int_{0}^{1}y^{2} \left (\int_{0}^{\ln 2} e^{x} \; \mathrm{d}x \right ) \; \mathrm{d} y$

我们评估

$\int_{0}^{\ln 2} e^{x} \; \mathrm{d}x$

$= \left.\begin{matrix} e^{x}\\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} \ln 2 \\ \\ 0 \end{matrix}$

$= e^{ln 2 } - e^{0} = 2 - 1 = 1$

原来的二重积分是

$\int_{0}^{1}y^{2} \cdot 1 \; \mathrm{d} y$

$=\int_{0}^{1}y^{2} \; \mathrm{d} y$

$= \left.\begin{matrix} \frac{y^{3}}{3} \\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 \\ \\ 0 \end{matrix}$

$= \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3} - \frac{0}{3} = \frac{1}{3}$

报告错误

问题1:发现积分

评估:

$\int_{0}^{\ln 2}\int_{0}^{\ln 2} e^{x+y} \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

可能的答案:

e^2

正确答案:

解释：

如果这样写，问题就容易多了:

$\int_{0}^{\ln 2}\int_{0}^{\ln 2} e^{x+y} \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

$= \int_{0}^{\ln 2}\int_{0}^{\ln 2} e^{x} e^{y} \; \mathrm{d} x \; \mathrm{d} y$

$= \int_{0}^{\ln 2}e^{y} \left (\int_{0}^{\ln 2} e^{x} \; \mathrm{d} x \right ) \; \mathrm{d} y$

我们评估

$\int_{0}^{\ln 2} e^{x} \; \mathrm{d}x$

$= \left.\begin{matrix} e^{x}\\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} \ln 2 \\ \\ 0 \end{matrix}$

$= e^{ln 2 } - e^{0} = 2 - 1 = 1$

原来的二重积分是

$= \int_{0}^{\ln 2}e^{y} \cdot 1 \; \mathrm{d} y$

$= \int_{0}^{\ln 2}e^{y} \; \mathrm{d} y$

类似于 $\int_{0}^{\ln 2} e^{x} \; \mathrm{d}x$ ，等于1。

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