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微积分2:向量图

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例子问题

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问题1:矢量图形

弧长是多少 x = 0 来 $x=\frac{\pi}{3}$ 的曲线;

$y = ln \left | cos x\right |$

提示:

$\int (sec (x)) dx= ln \left | sec (x) +tan(x)\right | + C$

可能的答案:

$\sqrt{3} - \sqrt2$

$ln \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$

$ln (\sqrt{3} + {2})$

$ln (\sqrt{2} + \sqrt3)$

$\sqrt{2} + 1$

正确答案:

$ln (\sqrt{3} + {2})$

解释：

弧长由公式给出:

$Arclength = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}}\right)^2 dx$

我们应该先求出dy/dx，它等于

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(ln(cos(x)) = \frac{1}{cos(x)}\cdot (-sin(x)) = -tan(x)$

现在我们来求积分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + (-tan x)^2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{(sec^2x)}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} sec(x)dx$

(这里我们应用提示中描述的集成)

$= \left[ln \left | tan(x) + sec(x)\right |\bigg]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = ln (\sqrt{3} + {2})$

这是通过在两个边界处求值得到的。

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问题2:矢量图形

求极坐标方程的面积:

$r = \sqrt{cos(\theta )}$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\pi$

正确答案:

解释：

当你画出 $r = \sqrt{cos(\theta )}$ ，边界在 $\theta = -\frac{\pi }{2}$ 和 $\theta = \frac{\pi }{2}$ ．

使用极坐标方程的面积公式:

$Area = \int_{\theta_{1} }^{\theta_{2}} \frac{1}{2}r^2 d\theta$

所以我们求出面积是:

$\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} (\sqrt{cos( \theta)})^2d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} cos (\theta)d\theta = \frac{1}{2}[sin \theta ]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$

$= \frac{1}{2}(1+1) = 1$

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问题3:矢量图形

向量值函数的图像

$\vec{r(t)}=<t^3, sin(t^2)>$

看起来最像下面哪个标量函数在笛卡尔坐标系中?

可能的答案:

$y=x^{3sin(x^2)}$

$y=sin^3({x})$

$y=sin({x}^\frac{2}{3})$

$y=sin({x}^\frac{3}{2})$

正确答案:

$y=sin({x}^\frac{2}{3})$

解释：

为了确定这个，我们必须把参数形式转换回笛卡尔形式

为此，我们将求解逆代入。

x=t^3

$x^\frac{1}{3}=t$

因为我们知道y的参数化，我们代入在

$y=sin(t^2)=sin((x^\frac{1}{3})^2)= sin((x^\frac{2}{3}))$

因此我们的答案是

$y=sin(x^\frac{2}{3})$

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问题4:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle t+6, \sin(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=\sin(6-x)$

$y=-\sin(x-6)$

$y=\sin(x+6)$

$y=\sin(x-6)$

$y=-\sin(x+6)$

正确答案:

$y=\sin(x-6)$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle t+6, \sin(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

x=t+6

t=x-6

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\sin(t)$

$y=\sin(x-6)$

报告错误

问题#441:参数，极坐标和矢量

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle t^{2}, \sin(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=-\sin2\sqrt{x}$

$y=\sin(\pm\sqrt{x})$

$y=\sin\sqrt{\frac{x}2{}}$

$y=-\sin\sqrt{x}$

$y=\sin2\sqrt{x}$

正确答案:

$y=\sin(\pm\sqrt{x})$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle t^{2}, \sin(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

$x=t^{2}$

$t=\pm\sqrt{x}$

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\sin(\pm\sqrt{x})$

报告错误

问题6:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle \frac{t^{2}}{3}, \cos^{2}(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=-\cos^{2}(\sqrt{3x})$

$y=\cos^{2}\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)$

$y=-\cos^{2}\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)$

$y=\cos^{2}(\pm\sqrt{3x})$

以上皆非

正确答案:

$y=\cos^{2}(\pm\sqrt{3x})$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle \frac{t^{2}}{3}, \cos^{2}(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

$x=\frac{t^{2}}{3}$

$t^{2}=3x$

$t=\pm\sqrt{3x}$

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\cos^{2}(\pm\sqrt{3x})$

报告错误

问题7:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle 4-t,\sin(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=\sin(4-x)$

$y=\sin(4+x)$

$y=-\sin(4-x)$

$y=-\sin(4+x)$

$y=\sin(x-4)$

正确答案:

$y=\sin(4-x)$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle 4-t,\sin(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

x=4-t

t=4-x

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\sin(t)$

$y=\sin(4-x)$

报告错误

问题8:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle 4t^{2},\cos(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=\cos(\sqrt{\frac{x}{4}})$

$y=4\cos(\sqrt{x})$

$y=-\cos(\sqrt{\frac{x}{4}})$

$y=-\cos(\sqrt{\frac{4}{x}})$

$y=\cos(\sqrt{\frac{4}{x}})$

正确答案:

$y=\cos(\sqrt{\frac{x}{4}})$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle 4t^{2},\cos(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

x=4t^2

$\frac{x}{4}=t^2$

$t=\sqrt{\frac{x}{4}}$

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\cos(t)$

$y=\cos(\sqrt{\frac{x}{4}})$

报告错误

问题9:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle \frac{t^{2}}{3},2\sin(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=-2\sin(\sqrt{3x})$

$y=2\sin(x\sqrt{3})$

$y=-2\sin(3\sqrt{x})$

$y=2\sin(3\sqrt{x})$

$y=2\sin(\sqrt{3x})$

正确答案:

$y=2\sin(\sqrt{3x})$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle \frac{t^{2}}{3},2\sin(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

$x=\frac{t^2}{}3$

3x=t^2

$t=\sqrt{3x}$

我们现在可以用这个值来解出：

$y=2\sin(t)$

$y=2\sin(\sqrt{3x})$

报告错误

问题10:矢量图形

向量函数的图像 $r(t)=\left \langle \frac{1}{\sqrt{t}},\sin(t)\right \rangle$ 也可以用下列哪个函数的矩形图形来表示?

可能的答案:

$y=\sin(\frac{1}{x})$

$y=\sin(\frac{1}{x^{2}})$

$y=-\sin(\frac{1}{x^{2}})$

$y=\sin(x^{2})$

$y=-\sin(x^{2})$

正确答案:

$y=\sin(\frac{1}{x^{2}})$

解释：

我们可以找到的图像 $r(t)=\left \langle \frac{1}{\sqrt{t}},\sin(t)\right \rangle$ 通过将参数坐标映射到笛卡尔坐标，得到矩形形式 (x,y) ：

$x=\frac{1}{\sqrt{t}}$

$\sqrt{t}=\frac{1}{x}$

$t=\frac{1}{x^{2}}$

我们现在可以用这个值来解出：

$y=\sin(t)$

$y=\sin(\frac{1}{x^{2}})$

报告错误

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