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例子问题

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问题91:参数

假设我们有一条由方程参数化的曲线:

$x = e^{-t}$

y = t^3 - 3t^2 + 1

曲线的切线在哪里？

可能的答案:

y = x + e

$y = -3x -3 + 3e^{-2}$

y = -e x + 1

y = e^2 x - 4

y = -3

正确答案:

y = -3

解释：

在 t=2 ，图形通过 $(e^{-2}, 2^3 - 3\cdot 2^2 + 1) = (e^{-2}, -3)$

为了求出斜率，我们需要对t求导，也就是

$\frac{dx}{dt} = -e^{-t}$

$\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 6t$

为了求出斜率，我们用:

$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ，

求值于 t=2 。

事实证明， $\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} t}$ 在 t=2 , $\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t} \neq 0$ ，所以曲线在这一点处的斜率为0 t=2 。

这意味着 y = 0x +b = b 求解有序对 $(e^{-2}, -3)$ ，解决方案必须是:

y = -3

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问题1:图形参数化

描述如下一组参数方程的图:

x = 4 sin(t) - 2

y = 9cos(t) + 1

可能的答案:

一个圆，以…为中心 (2,-1) 半径为 $\frac{9}{4}$ 。

椭圆，以…为中心 (-2, 1) 带横轴纵轴。

一个圆，以…为中心 (2,-1) 半径为 $\frac{9}{8}$ 。

有振幅的正弦曲线图 $\frac{2}{3}$ 向上移动一个单位，留下两个单位。

正确答案:

椭圆，以…为中心 (-2, 1) 带横轴纵轴。

解释：

x = 4 sin(t) - 2

y = 9cos(t) + 1

执行以下操作:

$x + 2 = 4sin (t) \Rightarrow \frac{x+2}{4} = sin(t)$

$y - 1 = 9 cos(t) \Rightarrow \frac{y-1}{9} = cos(t)$

现在，我们可以用毕达哥拉斯三角恒等式把这个方程转化成直角方程

$\frac{(x+2)^2}{4^2} + \frac{(y-1)^2}{9^2} = sin^2t + cos^2 t = 1$

这是椭圆的方程，圆心是 (-2, 1) 带横轴纵轴。

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问题102:参数

鉴于 x=-t+5 和 y=9t+4 ，是什么?就…而言(矩形形式)?

可能的答案:

y=49+9x

y=9x+49

y=49-9x

y=9x-49

以上皆非

正确答案:

y=49-9x

解释：

鉴于 x=-t+5 和 y=9t+4 我们解两个方程：

$x=-t+5\rightarrow t=5-x$

$y=9t+4\rightarrow t=\frac{y-4}{9}$

因为两个方程都等于，让它们相等，然后解出：

$\frac{y-4}{9}=5-x$

y-4=9(5-x)

y=9(5-x)+4

y=45-9x+4

y=49-9x

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问题103:参数

鉴于 x=2t+7 和 y=7t-2 弧的长度是多少 $0\leq t\leq2$ ？

可能的答案:

$6\sqrt{53}$

$2\sqrt{53}$

$5\sqrt{53}$

$\sqrt{53}$

$3\sqrt{53}$

正确答案:

$2\sqrt{53}$

解释：

为了求出弧长，必须使用参数曲线的弧长公式:

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt$ 。

鉴于 x=2t+7 和 y=7t-2 ，我们可以用运用幂次法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ ，

获得

$\frac{dx}{dt}=(1)2t^{1-1}+(0)7=2$ 和 $\frac{dy}{dt}=(1)7t^{1-1}-(0)2=7$ 。

代入这些值和边值代入弧长方程，得到:

$L=\int_{0}^{2}\sqrt{(2)^{2}+(7)^{2}}dt$

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{4+49})dt$

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{53})dt$

现在，用幂次法则求积分 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 对所有 $n\neq0$ ，我们可以确定:

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{53})dt$

$L=[t\sqrt{53}]_{0}^{2}\textrm{}$

$L=2\sqrt{53}-0\sqrt{53}$

$L=2\sqrt{53}$

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问题104:参数

找到 $\frac{dy}{dx}$ 使用下面的参数方程

$x(t)=t^2+t^3, y(t)=e^{2t}$ 。

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2+2t}{2e^{2t}}$

$\frac{dy}{dx}=2e^{2t}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{2t}}{3t^2+2t}$

$\frac{dy}{dx}=3t^2+2t$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{2t}}{3t^2+2t}$

解释：

众所周知，我们可以推导 $\frac{dy}{dx}$ 用公式

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

所以我们发现 $\frac{dy}{dt}, \frac{dx}{dt}$ ：

为了求出这些导数，我们需要用到幂法则，链式法则和指数法则。

权力规则: $x^n\ dx =nx^{n-1}$

链式法则: $f(g(x))\ dx=f'(g(x))\cdot g'(x)$

指数法则: $e^u dx=e^u \cdot \frac{du}{dx}$

应用这些规则，我们得到以下结果。

$\frac{dy}{dt}=2e^{2t}$

$\frac{dx}{dt}=3t^2+2t$

所以我们有

$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{2t}}{3t^2+2t}$ 。

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问题105:参数

给定参数方程

$x(t)=\cos t, y(t)=\ln t$

找到 $\frac{dy}{dx}$ 。

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t\sin t}$

$\frac{dy}{dx}=-t\sin t$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{t}{\sin t}$

$\frac{dy}{dx}=-\sin t$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t\sin t}$

解释：

众所周知，我们可以推导 $\frac{dy}{dx}$ 用公式

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

所以我们发现 $\frac{dy}{dt}, \frac{dx}{dt}$ ：

为了求导数，我们需要用到三角法则和自然对数法则。

余弦函数的三角法则: cos(t)dt=-sin(t)

自然对数法则: $ln(u)dt=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dt}$

应用上述规则，我们得到以下导数。

$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}$

$\frac{dx}{dt}=-\sin t$

所以我们有

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{t\sin t}$ 。

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问题1:图形参数化

绘制如下参数方程:

$x=\sec(t), y=\tan(t), t\in(-\infty,\infty)$

可能的答案:

Xsquaredminusysquared 1

Ysquaredminusxsquared 1

Y除以x2

Xsquaredplusysquared 1

没有其他答案

正确答案:

Xsquaredminusysquared 1

解释：

使用恒等式 $\sec^2(t)-\tan^2(t)=1$ ，我们可以代入值为 $\sec(t)$ 和为 $\tan(t)$ 得到方程 x^2-y^2=1 。这是一个x截距为的水平双曲线的图像 (-1,0) 和 (1,0) 的渐近线 $y=\pm{x}$ 。图片如下所示:

Xsquaredminusysquared 1

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问题107:参数

参数方程在哪个象限终止于 $t=\frac{\pi}{4}$ ？

$x=cos\,t$

$y=sin\,t$

可能的答案:

III

正确答案:

解释：

当 $t=\frac{\pi}{4}$

我们有这个

$x=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$

$y=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}$

这给出了坐标

$(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})$

它位于

$Quadrant\, I$

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问题108:参数

参数方程在哪个象限终止于 t=3 ？

x=8t

y=-4t

可能的答案:

III

正确答案:

解释：

当 t=3

我们有这个

x=8(3)=24

y=-4(3)=-12

这给出了坐标

(24,-12)

它位于

$Quadrant\, IV$

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问题109:参数

参数函数位于哪个象限中价值吗?

$(3t,\, t^3)$

t=-2

可能的答案:

III

正确答案:

III

解释：

我们把给定的值转化为参数函数。

$(3(-2), \,(-2)^3)$

=(-6,-8)

得到的坐标是in

$Quadrant\,III$

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