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微积分2:函数的一阶导数和二阶导数

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例子问题

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例子问题1:函数的一阶和二阶导数

求以下方程的二阶导数:

f(x)=ln(2x-1)

可能的答案:

$f''(x)=-\frac{4}{(2x-1)^2}$

$f''(x)=-\frac{2}{(2x-1)}$

$f''(x)=\frac{ln(2x-1)}{(2x-1)}$

$f''(x)=\frac{2}{(2x-1)^2}$

$f''(x)=-\frac{2}{(2x-1)^2}$

正确答案:

$f''(x)=-\frac{4}{(2x-1)^2}$

解释：

为了求二阶导，首先我们需要求一阶导。自然对数的导数等于操作数的导数乘以操作数的倒数。对于给定的函数，我们得到一阶导数为

$f'(x)=2\cdot \frac{1}{2x-1}=\frac{2}{2x-1}$ ．

现在，我们要对一阶导数求导。为了化简，我们可以把函数重写为 f'(x)=2(2x-1)^-^1 ．从这里我们可以用链式法则解出导数。首先，乘以指数，并通过一个接一个地减去旧指数来找到新的指数。然后乘以(2x-1)的导数，然后化简。因此，我们得到

$f''(x)=2\cdot-1\cdot2(2x-1)^-^2=-\frac{4}{(2x-1)^2}$ ．

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例子问题1:函数的一阶和二阶导数

求下面这个函数的二阶导数。

f(x)=sec(x)

可能的答案:

$f''(x)=sec(x)\cdot (tan^2(x)+sec^2(x))$

f''(x)=-csc(x)

f''(x)=sec(x)tan(x)

f''(x)=cot(x)csc(x)

f''(x)=sec^3(x)tan(x)

正确答案:

$f''(x)=sec(x)\cdot (tan^2(x)+sec^2(x))$

解释：

为了求二阶导，首先我们需要求一阶导。对于给定的函数，我们得到一阶导数为

f'(x)=tan(x)sec(x) ．

现在我们要对导数求导。要做到这一点，我们需要使用如下所示的乘积法则

因此，我们得到

$\\f''(x)=tan(x)\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}sec(x)+sec(x)\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}tan(x)\\f''(x)=tan(x)\cdot sec(x)\cdot tan(x)+sec(x)\cdot sec^2(x)\\f''(x)=sec(x)\cdot (tan^2(x)+sec^2(x))$ ．

报告错误

例子问题1:函数的一阶和二阶导数

求给定函数的二阶导数:

$f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x}$

可能的答案:

x^2+2x+1

$\frac{2}{x^3}$

$\frac{2x+2}{x}$

$\frac{x^2-1}{x^2}$

正确答案:

$\frac{2}{x^3}$

解释：

为了求二阶导，首先我们需要求一阶导。为了求一阶导数，我们需要使用如下的除法法则。对于给定的函数，我们得到一阶导数为
$\\f'(x)=\frac{x\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+2x+1)-(x^2+2x+1)\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x)}{x^2}\\f'(x)=\frac{x\cdot (2x+2)-(x^2+2x+1)\cdot 1}{x^2}\\f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$ ．

现在我们要对导数求导。要做到这一点，我们需要使用如下所示的除法法则。

因此，我们得到

$\\f''(x)=\frac{x^2\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2-1)-(x^2-1)\cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2)}{x^4}\\ f''(x)=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\\f''(x)=\frac{2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}$

报告错误

例子问题1:函数的一阶和二阶导数

f(x)= 2sin(2x)+e^x

计算 f''(x).

可能的答案:

$f''(x)=-4cos(2x)+e^{2x}$

$f''(x)=4sin(x)+e^{2x}$

f''(x)= -8sin(2x)+e^x

f''(x)= 8sin(2x)+e^x

f''(x)=-8cos(2x)+e^x

正确答案:

f''(x)= -8sin(2x)+e^x

解释：

有两个独立的功能组成 f(x) ．有 2sin(2x) 而且 e^x ．

总的来说，

$\frac{d}{dx}sin(ax)=acos(ax)$ 而且

$\frac{d}{dx}cos(ax)=-asin(ax)$ ．

同时,

$\frac{d}{dx}e^u=e^u \cdot u'$

说到这里，让我们计算一下 f'(x) ：

f'(x)= 4cos(2x)+e^x ．注意到 e^x Term不变。

现在我们计算一下 f''(x) ．

f'(x)= -8sin(2x)+e^x

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例5:函数的一阶和二阶导数

$f(x)= \frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{8}x^2$

$f'(x)=ae^{bx} + \frac{1}{4}x$

找到而且．

可能的答案:

a=2, b=2

$a=\frac{1}{2}$ ， b=2

a=0, b=1

$a=\frac{1}{2}$ ， b=1

a=1, b=2

正确答案:

a=1, b=2

解释：

为了求出a和b，首先让我们计算 f'(x) ．

$f'(x)=\frac{1}{2}(2)e^{2x}+\frac{1}4{x}$

记住, $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$ ，其中a是实数。

仅仅是指数前面的系数，它化简为1，然后是指数的幂，也就是2。

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例子问题6:函数的一阶和二阶导数

求导数 y^2=x^2+5y 关于．

可能的答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x-5}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+5}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+5}{2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2y-5}$

$\frac{dy}{dx}=2y=2x+5$

正确答案:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2y-5}$

解释：

为了求出关于x的导数，需要隐微分。求函数关于x的导数的符号是:

$\frac{dy}{dx}$

求导，必要时应用链式法则。

y^2=x^2+5y

$2y \cdot \frac{dy}{dx}=2x +5 \cdot \frac{dy}{dx}$

$2y \cdot \frac{dy}{dx}-5 \cdot \frac{dy}{dx}=2x$

$\frac{dy}{dx}[2y-5]=2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2y-5}$

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示例问题7:函数的一阶和二阶导数

求导数 $\small lnx^{lnx}$ ．

可能的答案:

$\small \small lnx^{lnx}(ln(lnx)+1/x)$

$\small \small lnx^{lnx}(ln(lnx)/x+1/x)$

$\small (lnxlnx^{lnx-1})/x$

$\small lnxlnx/x$

$\small \small lnx^{lnx}ln(lnx)/x$

正确答案:

$\small \small lnx^{lnx}(ln(lnx)/x+1/x)$

解释：

为了求出这个导数，我们需要使用对数微分。这允许我们使用对数法则 $\small lna^{b}=blna$ 求一个更简单的导数。

让 $\small y=lnx^{lnx}$ ．

现在我们对两边取自然对数

$\small lny=ln(lnx^{lnx})=lnxln(lnx)$ ．

现在我们可以用隐函数微分来解 $\small y'$ ．

的导数 $\small lny$ 是 $\small y'/y$ 的导数 $\small \small \small lnx(ln(lnx))$ 可以用乘法定则找到，哪一种情况

$\small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(u\cdot v)=u'v+uv'$ 在哪里 $\small u$ 而且 $\small v$ 的函数 $\small x$ ．

让 $\small u=lnx$ 而且 $\small v=ln(lnx)$

(这意味着 $\small u'=1/x$ 而且 $\small v'=1/(xlnx)$ )我们得到导数为 $\small ln(lnx)/x+1/x$ ．

现在我们有 $\small y'/y=ln(lnx)/x+1/x$ ,但 $\small y=lnx^{lnx}$ ，代入就得到

$\small \small y'/(lnx^{lnx})=ln(lnx)/x+1/x$ ．

两边同时乘以 $\small lnx^{lnx}$ ，我们得到

$\small y'=lnx^{lnx}(ln(lnx)/x+1/x)$ ．

这就是导数。

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例8:函数的一阶和二阶导数

求函数的一阶导数:

$f(x)=\cos(x^3)+\sqrt{x^2+1}$

可能的答案:

$-\sin(x^3)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$3x^2\sin(x^3)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$-3x^2\sin(x^3)+{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$-3x^2\sin(x^3)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

正确答案:

$-3x^2\sin(x^3)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

解释：

函数的导数等于

$-3x^2\sin(x^3)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

并被发现使用以下规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

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问题9:函数的一阶和二阶导数

求下列函数的二阶导数:

$f(x)=2xe^{3x}+\tan(x)$

可能的答案:

$12e^{3x}+18xe^{3x}+2\sec^2(x)\tan(x)$

$18xe^{3x}+2\sec^2(x)\tan(x)$

$6e^{3x}+18xe^{3x}+2\sec^2(x)\tan(x)$

$12e^{3x}+18xe^{3x}+2\sec(x)\tan(x)$

正确答案:

$12e^{3x}+18xe^{3x}+2\sec^2(x)\tan(x)$

解释：

函数的一阶导数等于

$f'(x)=2e^{3x}+6xe^{3x}+\sec^2(x)$

函数的二阶导数(上面函数的导数)为

$f''(x)=12e^{3x}+18xe^{3x}+2\sec^2(x)\tan(x)$

下列规则用于衍生品:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^u=e^u \frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \tan(x)=\sec^2(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

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例子问题1:函数的一阶和二阶导数

汽车的位置由以下函数给出:

$f(x)=\cos(x)e^{11x}+\csc(x)$

车的速度函数是什么?

可能的答案:

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}$

$\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}+\csc(x)\cot(x)$

$-\sin(x)e^{11x}+\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

正确答案:

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

解释：

车的速度函数等于车的位置函数的一阶导数，等于

$-\sin(x)e^{11x}+11\cos(x)e^{11x}-\csc(x)\cot(x)$

用以下规则求导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^u=e^u \frac{\mathrm{du} }{\mathrm{d} x}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos(x)=-\sin(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

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