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微积分2:导数

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例子问题

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例子问题1:导数的定义

用导数的定义之一求极限。

$\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2x -1}{x+\frac{\pi}{2}}$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

不存在

$\pi$

正确答案:

解释：

直接求极限会得到的不确定解 $\small \tiny{\frac{0}{0}}$ ．

导数的极限定义是 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$ ．然而，另一种形式， $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(x)$ ，更适合给定的极限。

让 $f(x)=\sin^2x$ 注意 $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1$ ．由此可见, ${\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2-1}{x-\left(-\frac{\pi}{2} \right )} = \frac{d}{dx}\sin^2x}$ ．

因此，极限是 ${2\sin\left(-\frac{\pi}{2} \right ) \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)} = 0.$

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例子问题2:导数的定义

用导数的定义之一求极限。

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{49}-1}{x-1}$

可能的答案:

不存在

正确答案:

解释：

直接求导数会得到的不确定解 $\small \tiny{\frac{0}{0}}$ ．

导数的极限定义是 $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$ ．然而，另一种形式， $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(x)$ ，更适合给定的极限。

让 $f(x)=x^{49}$ 注意 f(1)=1 ．由此可见, ${\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{49}-1}{x-1} = \frac{d}{dx}x^{49}}$ ．因此，极限是 $49(1)^{48}=49$ ．

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示例问题11:计算的衍生品

假设而且是可微函数，和 f(3)=1, f'(3)=4, g(-1)=3, g'(-1)=-1 ．计算导数 h(x) = f(x+2)g(-x) ,在 x = 1

可能的答案:

其他答案都没有

正确答案:

其他答案都没有

解释：

正确答案是11。

求导 h(x) 包括乘法法则和链式法则。

h'(x)=[f(x+2)][-g'(-x)]+[g(-x)][f'(x+2)]

= -g'(-x)f(x+2)+g(-x)f'(x+2)

替换 x=1 两边的导数

$h'(1)= -g'(-1)f(3)+g(-1)f'(3) = -1\cdot1 + 3 \cdot 4 = 11$ ．

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示例问题4:导数的定义

评估的极限

$\small \small \lim_{\mu\to 0} \frac{\tan \mu}{\mu}$

不用洛必达法则。

可能的答案:

$\small \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small 2$

$\small 1$

$\small -\frac{\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\small 1$

解释：

如果我们回想一下函数导数的定义 $\small f(x)$ 在一个点 $\small x$ ，其中一个定义是

$\small f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ．

如果我们把这个定义和极限进行比较

$\small \small \lim_{\mu\to 0} \frac{\tan \mu}{\mu}$

我们知道这是导数的极限定义，所以我们需要找到函数 $\small f(x)$ 和点 $\small x$ 在点处求导数。很容易看出函数是 $\small f(x)=\tan x$ 重点是 $\small x=0$ ．求上面的极限等价于求 $\small f'(0)$ ．

我们知道导数是 $\small f'(x)=\sec^2(x)$ ，所以我们有

$\small \small \small \lim_{\mu\to 0} \frac{\tan \mu}{\mu}=f'(0)=\sec^2(0)=1^2=1$ ．

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例子问题2:导数的定义

近似导数为 $y=\sqrt{x}$ 在哪里 x=2 ．

可能的答案:

0.35359

0.35351

0.35346

0.35353

0.35355

正确答案:

0.35355

解释：

写出极限的定义。

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

替代 x=2 ．

$\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt2}{h}$

自是接近于0的时候，最好的评估方法是什么逐步减少。让我们假设 h=0.1, 0.0001, 0.000001 检查模式。

$\frac{\sqrt{2+0.1}-\sqrt2}{0.1}=0.349241$

$\frac{\sqrt{2+0.0001}-\sqrt2}{0.0001}=0.353549$

$\frac{\sqrt{2+0.000001}-\sqrt2}{0.000001}=0.353553$

最好的答案是: 0.35355

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示例问题6:导数的定义

考虑到:

f(x)=3x^2(x^2-5x+2)^5

找到f (x):

可能的答案:

(x^2-5x+2)^4(36x^3-45x^2+12x)

(x^2-5x+2)^4(60x^2-150)

(x^2-5x+2)^4(36x^3-105x^2+12x)

(15x^2)(x^2-5x+2)^4

(x^2-5x+2)^5(36x^3-105x^2+12x)

正确答案:

(x^2-5x+2)^4(36x^3-105x^2+12x)

解释：

求导的计算需要使用乘法法则和链式法则。

乘积法则适用于两个可微函数相乘的情形:

f(x)*g(x)

$\frac{d}{dx}[f(x)*g(x)]=f(x)*g'(x)+g(x)*f(x)$

这可以很容易地用文字表述为:"第一个乘以第二个的导数，加上第二个乘以第一个的导数"

在问题陈述中，我们得到:

f(x)=3x^2(x^2-5x+2)^5

3x^2 是“First”函数，而 (x^2-5x+2)^5 是“第二”功能。

“第二个”函数需要使用链式法则。

当:

$y=(f(x))^a \rightarrow \frac{dy}{dx}=a*(f(x))^{a-1}*f'(x)$

应用这些公式得到:

f'(x)=(3x^2)[5(x^2-5x+2)^4(2x-5)]+(x^2-5x+2)^5(6x)

简化括号内的术语会得到:

f'(x)=(3x^2)[(10x-25)(x^2-5x+2)^4]+(x^2-5x+2)^5(6x)

我们注意到，在“+”号两边的一组方程中，有一个共同的项可以被提出来。我们把这些因子提出来，让方程看起来更简洁。

f'(x)=(x^2-5x+2)^4[(3x^2)(10x-25)+(6x)(x^2-5x+2)]

在括号内，可以将术语清理为一个扩展函数。让我们这样做:

f'(x)=(x^2-5x+2)^4[30x^3-75x^2+6x^3-30x^2+12x]

简化这个结果会得到一个答案选项:

f'(x)=(x^2-5x+2)^4(36x^3-105x^2+12x)

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示例问题7:导数的定义

下面的极限值是多少?

$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\frac{sin(x)-sin(\frac{\pi}{6})}{x-\frac{\pi}{6}}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{\sqrt3}{2}$

解释：

回想一下函数导数的一个定义 $f(x)\ at\ x=a$ 是 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ．

这意味着这道题要求我们求的导数的值 sin(x) 在 $x=\frac{\pi}{6}$ ．

自

$\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$ 而且 $cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}$ ，极限值为 $\frac{\sqrt3}{2}$ ．

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示例问题8:导数的定义

$f(x)=x^2\tan^{-1}(3x^5)$

$\frac{dy}{dx}=?$

可能的答案:

$\frac{15x^4\tan^{-1}(3x^5)}{1+9x^{7}}+2x^3$

$2x\tan^{-1}(3x^5)$

$\frac{15x^4\tan^{-1}(3x^5)}{1+9x^{10}}+2x^3$

$\frac{15x^8}{1+9x^7}+2x\tan^{-1}(3x^5)$

$\frac{15x^6}{1+9x^{10}}+2x\tan^{-1}(3x^5)$

正确答案:

$\frac{15x^6}{1+9x^{10}}+2x\tan^{-1}(3x^5)$

解释：

求这个积分需要使用乘法法则。还需要回忆一下导数的形式 $\tan^{-1}(x)$ ．

产品规则:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$

$\frac{d}{dx}[\tan^{-1}(u)]=\frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$

应用这两个规则会得到:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[x^2\tan^{-1}(3x^5)]$

$\frac{dy}{dx}=(x^2)(\frac{1}{1+(3x^5)^2})(15x^4)+\tan^{-1}(3x^5)(2x)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{15x^6}{1+9x^{10}}+2x\tan^{-1}(3x^5)$

这将匹配其中一个答案选项。

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示例问题9:导数的定义

用导数的定义来解 f'(x) ．

f(x)=x^3

可能的答案:

3x^2

x^2

$\frac{1}{3}x^2$

正确答案:

3x^2

解释：

为了找到 f'(x) ，我们需要记住如何寻找 f'(x) 通过导数的定义。

导数的定义:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

现在我们把它应用到我们的问题上。

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$

现在把分子展开。

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}$

我们可以化简成

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$

现在提出h得到

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$

我们可以化简，然后求极限。

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} 3x^2+3xh+h^2$

$\\ \\ =3x^2+3x(0)+0^2 \\ =3x^2$

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示例问题10:导数的定义

用导数的定义来解 f'(x) ．

f(x)=10x^2

可能的答案:

20x^2

20x

正确答案:

20x

解释：

为了找到 f'(x) ，我们需要记住如何寻找 f'(x) 通过导数的定义。

导数的定义:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

现在我们把它应用到我们的问题上。

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{10(x+h)^2-10x^2}{h}$

现在把分子展开。

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{10x^2+20xh+10h^2-10x^2}{h}$

我们可以化简成

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{20xh+10h^2}{h}$

现在提出h得到

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h(20x+10h)}{h}$

我们可以化简，然后求极限。

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} 20x+10h$

$\\ \\ =20x+10(0) \\ =20x$

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