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微积分2:求极限和单侧极限

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例子问题

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问题1:寻找极限和单边极限

哪个图形可能是函数的草图它具有以下特点:

$f(-2)= undefined; \lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)= \infty; \lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)= -\infty;$

可能的答案:

Graph1

不存在这样的图。

Graph3

Graph4

Graph2

正确答案:

Graph1

解释：

自 $\tiny { f(-2) = undefined}$ 可能有一条垂直渐近线 x=-2 ．

当我们接近 x=-2 从左边开始，图形应该趋向于 $\tiny { +\infty}$ ．接近 x=-2 从右边看，图形趋向于 $\tiny {-\infty}$ ．

唯一这样做的图表是 Graph1 ．

报告错误

问题2:寻找极限和单边极限

Rational_graph

上图是该函数的简图．找到 $\lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$ ．

可能的答案:

不存在

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

$-\infty$

解释：

我们需要观察函数的行为从左边开始。所以答案是 $\tiny { -\infty}$ ．

报告错误

问题3:寻找极限和单边极限

Rational_graph

上图是……的示意图．找到 $\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ ．

可能的答案:

不存在

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

不存在

解释：

极限不存在，因为单面极限不相等; $\lim_{x \rightarrow -2^-}f(x) = -\infty$ ,而 $\lim_{x \rightarrow -2^+}f(x) = +\infty$ ．

报告错误

问题4:寻找极限和单边极限

的值 $\lim_{x \to 5^-} \left |-5 \right |$ ．

可能的答案:

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

解释：

表达式 ${}\lim_{x \to 5^-} \left |-5 \right |$ 表示定义域上的所有点都等于5，因为绝对值等于负值。

的 $\lim_{x \to 5^-}$ 是在图接近时寻找极限 x=5 从图的左边开始。因为- 5的绝对值是5，所以图形从左边趋向5。

正确答案是．

报告错误

问题1:寻找极限和单边极限

求以下极限。

$\small \lim_{x\to 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$

可能的答案:

$\small 6$

$\small 3+\sqrt{3}$

极限不存在

正确答案:

$\small 6$

解释：

这个限制可以通过对限制内表达式的简单操作来解决:

$\\ \small \small \lim_{x\to 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}\\ \\=\lim_{x\to 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}\cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\\ \\=\lim_{x\to 9} \frac{x-9}{x-9}\cdot (\sqrt{x}+3)\\ \\=\lim_{x\to 9} \sqrt{x}+3\\ \\=\sqrt{9}+3=6$

报告错误

问题1:寻找极限和单边极限

计算极限:

$\lim_{x \to 3} x^2-2x+6$

可能的答案:

DNE

正确答案:

解释：

考虑函数的定义域。因为这个方程是一个多项式，x不受任何值的限制。求极限的方法就是把x接近的值代入极限方程。

$\lim_{x \to 3} x^2-2x+6=3^2-2*3+6=9-6+6=9$

报告错误

问题1:寻找极限和单边极限

计算极限:

$\lim_{x \to -2}\sqrt{x^4+3x+6}$

可能的答案:

DNE

正确答案:

解释：

考虑函数的定义域。因为这个方程是一个多项式，x不受任何值的限制。求极限的方法就是把x接近的值代入极限方程。

$\lim_{x \to -2}\sqrt{x^4+3x+6}=\sqrt{(-2)^4+3(-2)+6}=\sqrt{16-6+6}=\sqrt{16}=4$

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问题1:寻找极限和单边极限

计算极限:

$\lim_{x \to -2}\frac{x^4-2}{2x^2-3x+2}$

可能的答案:

DNE

$\frac{7}{8}$

$\frac{7}{4}$

正确答案:

$\frac{7}{8}$

解释：

这个方程的极限情况是分母。把x接近的值代入分母看分母是否等于0。在这个问题中，当x=-2时，分母不等于零;我们把x的值代入整个方程。

$\lim_{x \to -2}\frac{x^4-2}{2x^2-3x+2}=\frac{(-2)^4-2}{2(-2)^2-3*(-2)+2}=\frac{16-2}{8+6+2}=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$

报告错误

问题1:寻找极限和单边极限

计算极限:

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos^4 (x)}{5+2x^3}$

可能的答案:

DNE

$\infty$

$\frac{1}{5}$

正确答案:

$\frac{1}{5}$

解释：

这个方程的极限情况是分母。把x接近的值代入分母看分母是否等于0。在本题中，当x=0时，分母不等于0;我们把x的值代入整个方程。

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos^4 (x)}{5+2x^3}=\frac{\cos^4 (0)}{5+2(0)^3}=\frac{1}{5}$

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问题1:寻找极限和单边极限

计算极限:

$\lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x-5}$

可能的答案:

$\infty$

DNE

正确答案:

解释：

这个方程的极限情况是分母。把x接近的值代入分母看分母是否等于0。在这个问题中，当x=5时，分母等于0;所以我们试着通过因式分解来消去分母。当分母不再为零时，我们可以继续将x的值插入到剩余的方程中。

$\lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x-5}=\lim_{x \to 5}\frac{(x-5)(x-1)}{x-5}=\lim_{x \to 5}(x-1)=5-1=4$

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