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微积分2:极限

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例子问题

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问题1:限制

评估:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{8^{x}- 8}{2^{x}- 2}$

可能的答案:

$\ln 4$

$\infty$

这个限制不存在。

其他答案都不对。

正确答案:

其他答案都不对。

解释：

评估在 x = 1 ，分子和分母都等于0，如下所示:

$8^{x}- 8 = 8^{1}- 8 = 8 - 8 = 0$

$2^{x}- 2 = 2^{1}- 2 = 2 - 2 = 0$

所以直接换元是行不通的。这里可以用洛必达法则，但更简单的方法是注意它

$8 = 2 ^{3}$ 和 $8^{x} = \left ( 2 ^{3} \right )^{x} = 2 ^{3x} = \left ( 2 ^{x} \right )^{3}$ ．

因此表达式可以重写并求解如下:

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{8^{x}- 8}{2^{x}- 2}$

$= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\left (2^{x} \right )^{3}- 2^{3}}{2^{x}- 2}$

$= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\left (2^{x}- 2 \right) \left [ \left ( 2^{x} \right ) ^{2} +2 \cdot 2^{x} + 2 ^{2} \right ] }{2^{x}- 2}$

$= \lim_{x\rightarrow 1} \left [ \left ( 2^{x} \right ) ^{2} +2 \cdot 2^{x} + 2 ^{2} \right ]$

$= \left [ \left ( 2^{1} \right ) ^{2} +2 \cdot 2^{1} + 2 ^{2} \right ] = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 2^{2} = 4 + 4 + 4 = 12$

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问题2:限制

计算极限:

$\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\tan2y}{\sin 5y}$

可能的答案:

不存在

$\frac{2}{5}$

$\frac{5}{2}$

$\sin \frac{2}{5}$

正确答案:

$\frac{2}{5}$

解释：

直接求极限会得到不确定的答案 $\frac{0}{0}$ ．

把极限写成sin和cos的形式， $\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin 2y}{\cos 2y} \cdot \frac{1}{\sin 5y}$ ，我们可以尝试对函数进行操作以利用这个性质 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ．

将函数乘以正弦函数的参数， $\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin 2y}{2y} \cdot \frac{1}{\cos 2y} \cdot \frac{5y}{\sin 5y} \cdot \frac{2y}{5y}$ ，我们可以看到极限是 $(1)(1)(1)\left(\frac{2}{5}\right) = \left(\frac{2}{5} \right )$ ．

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问题1:微积分二世

评估 $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \cos x \tan x$ ．

可能的答案:

$\infty$

$- \infty$

这个限制不存在。

正确答案:

解释：

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \cos x = \cos \frac{\pi}{2} = 0$

和

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \tan x = \infty$ ，

所以我们不能通过代换来解。

然而，我们可以重写表达式:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$

$= \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^{-} } \sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

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问题1:限制

求的极限 $\frac{sin^5(x)}{x^5}$ 作为趋向于无穷。

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\infty$

不确定的

正确答案:

解释：

表达式 $\frac{sin^5(x)}{x^5}$ 可以重写为 $\frac{1}{x^5}sin^5(x)$ ．

回想一下，挤压定理可以用来求极限。正弦函数的取值范围是 [0,1] ，这意味着范围必须在这个边界内。

$0\leq sin^5(x) \leq 1$

乘以 $\frac{1}{x^5}$ 一项通过。

$0\left(\frac{1}{x^5}\right)\leq \left(\frac{1}{x^5}\right)sin^5(x) \leq 1\left(\frac{1}{x^5}\right)$

取极限为所有项都趋于无穷。

$\lim_{x \to \infty}0\leq \lim_{x \to \infty}\frac{sin^5(x)}{x^5} \leq \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^5}$

$0\leq \lim_{x \to \infty}\frac{sin^5(x)}{x^5} \leq 0$

由于该区间的左右两端均为零，可以得出 $\lim_{x \to \infty}\frac{sin^5(x)}{x^5}$ 也必须趋于零。

正确答案是0。

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问题5:限制

确定极限。 $\lim_{x \to 0}-\frac{1}{x^2}$

可能的答案:

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

$-\infty$

解释：

以确定, $\lim_{x \to 0}-\frac{1}{x^2}$ 绘制函数图 $y=-\frac{1}{x^2}$ 注意曲线从左到右的方向 x=0 ．

左右方向都趋向于负无穷。

答案是: $-\infty$

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问题6:限制

以下哪项是正确的?

可能的答案:

如果 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 和 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ ,然后 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

如果 $\small \small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 存在,那么 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 和 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ 都存在。

$\small \lim _{x\to a} f(x)$ 和 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ 存在当且仅当 $\small \small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

如果既不 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 也不 $\small \small \lim _{x\to a} g(x)$ 存在,那么 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 也不存在。

正确答案:

如果 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 和 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ ,然后 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

解释：

如果 $\small \lim _{x\to a} f(x)$ 和 $\small \lim _{x\to a} g(x)$ ,然后 $\small \lim _{x\to a} f(x)+g(x)$ 的存在。

这可以用 $\small \epsilon-\delta$ 定义的限制，但它很可能超出了您的类的范围。

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问题7:限制

确定极限: $\lim_{x \to \infty}\frac{3x^n}{9n!}$

可能的答案:

$\infty$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

解释：

在极限中分离出常数。

$\lim_{x \to \infty}\frac{3x^n}{9n!} = \frac{1}{3}\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{n!}$

极限属性 $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{n!}=0$ ．

因此:

$\frac{1}{3}\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{n!} = \frac{1}{3}(0)=0$

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问题8:限制

如果可能，评估极限: $\lim_{x\to \infty}tan^{-1}(x^2)$

可能的答案:

$\infty$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

解释：

评估 $\lim_{x\to \infty}tan^{-1}(x^2)$ 注意里面的项 x^2 代入后趋于无穷。一个非常大的数的正切反函数接近于 $\frac{\pi}{2} \textup{ radians}$ ．

答案是 $\frac{\pi}{2}$ ．

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问题9:限制

评估以下限制:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+1}{3x^2}$

可能的答案:

$\infty$

$-\frac{1}{3}$

$-\infty$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{3}$

解释：

第一步是从上面和下面的多项式中提取出最高次项(本质上是抽出1):

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2}{x^2}\left(\frac{1+\frac{1}{x^2}}{3}\right)$

这就变成了

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{1+\frac{1}{x^2}}{3}\right)$

求极限，我们接近 $\frac{1}{3}$ ．

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问题1:限制

评估以下限制:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{2x^2+3x+1}$

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

$\infty$

$-\infty$

正确答案:

解释：

为了计算极限，首先从顶部和底部抽出最大的幂项(所以我们实际上是去掉了1):

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2(\frac{1}{x})}{x^2(2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}$

这就变成了

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(\frac{1}{x})}{(2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}$

代入无穷，我们发现分子趋于0，这使得整个极限趋于0。

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