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例子问题

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例子问题1:欧拉方法

假设我们有以下具有初始条件的微分方程:

$\frac{\partial p }{\partial x} = 0.5x(1-x), \ p(0) = 2$

用欧拉方法进行近似 p(2) ，步长为．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们从x= 0开始移动到x=2，步长为1。从本质上讲，我们通过使用公式来近似下一步:

$p(x + \Delta x) = p(x) + p'(x)\cdot (\Delta x)$ ．

所以应用欧拉方法，我们用导数来计算:

$p'(x) = 0.5x(1-x), \ p(0) = 2$

还有两个步长，x = 1和x = 2。

${}p(x=1) = p(0) + (1 - 0)p'(0) = 2 + 1\cdot p'(0) = 2 + 1 \cdot 0.5(0)(1-0) = 2 + 0 = 2$

${}p(x=2) = p(1) + (2-1)\cdot p'(1) = 2 + 1\cdot p'(1) = 2 + 0.5(1)(1-1) = 2 + 0 = 2$

因此，用欧拉方法求x = 2处p的值，得到p(2) = 2。

例子问题1:欧拉方法

近似 $\small e^{\frac{1}{2}}$ 用欧拉方法求解微分方程

$\small y'=y$

在初始条件下 $\small y(0)=1$ (它有解决方案 $\small y(t)=e^t$ )和时间步长 $\small \small h=\frac{1}{4}$ ．

可能的答案:

$\small 1.5$

$\small 1.56$

$\small 1.5625$

$\small 1.649$

正确答案:

$\small 1.5625$

解释：

用欧拉方法 $\small h=1/4$ 意味着我们使用两次迭代来得到近似。一般的迭代公式是

$\small y_{i+1}=y_i+h\cdot f(t_i,y_i)$

其中每个 $\small t_i$ 是

$\small t_0=0$

$\small t_1=\frac{1}{4}$

$\small t_2=\frac{1}{2}$

$\small y_i$ 的近似值 $\small y(t_i)$ , y'=f(t,y)=y ，对于这个微分方程。所以我们有

$\small \small \small \small y_1=y_0+\frac{1}{4}f(t_0,y_0)=1+\frac{1}{4}\cdot 1=1.25$

$\small \small \small \small e^{1/2}= y(\frac{1}{2})\approx y_2=y_1+\frac{1}{4}f(t_1,y_1)=1.25+\frac{1}{4}\cdot 1.25=1.5625$

所以我们的近似值 $\small e^{1/2}$ 是

$\small e^{1/2}\approx 1.5625$

例子问题3:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=3x+4y$ 在 x=1 在初始条件下 y(0)=0 步长 h=0.25 ．

可能的答案:

(1,0.75)

(1,2.0625)

(1,0.1875)

(1,0)

正确答案:

(1,2.0625)

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=3x+4y$

h=0.25

从初始点开始 (x_0,y_0)=(0,0)

$x_{1}=x_0+h=0+0.25=0.25$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=0+0.25*(3*0+4*0)=0$

(x_1,y_1)=(0.25,0)

$x_{2}=x_1+h=0.25+0.25=0.5$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=0+0.25*(3*0.25+4*0)=0.1875$

(x_2,y_2)=(0.5,0.1875)

我们继续使用欧拉方法直到 x=1 ．欧拉方法的结果如下表所示。

屏幕截图2015年11月19日下午3点48分44秒

注:解析解这个微分方程会得到不同的答案， 9.2997 ．未来的问题将解释这种差异。

问题4:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=3x+4y$ 在 x=1 在初始条件下 y(0)=0 步长 h=0.1 ．

可能的答案:

(1,0)

(1,0.03)

(1,4.4860)

(1,3.0114)

正确答案:

(1,4.4860)

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=3x+4y$

h=0.1

从初始点开始 (x_0,y_0)=(0,0)

$x_{1}=x_0+h=0+0.1=0.1$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=0+0.1*(3*0+4*0)=0$

(x_1,y_1)=(0.1,0)

$x_{2}=x_1+h=0.1+0.1=0.2$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=0+0.1*(3*0.1+4*0)=0.03$

(x_2,y_2)=(0.2,0.03)

我们继续使用欧拉方法直到 x=1 ．欧拉方法的结果如下表所示。

问题2

注:解析解这个微分方程会得到不同的答案， 9.2997 ．随着步长变大，欧拉方法给出了更准确的答案。

例5:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ 在 x=2 在初始条件下 y(1)=1 步长 h=0.25 ．

可能的答案:

(2,2)

(2,1.75)

(2,3)

(2,1)

正确答案:

(2,2)

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

h=0.25

从初始点开始 (x_0,y_0)=(1,1)

$x_{1}=x_0+h=1+0.25=1.25$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=1+0.25*(1/1)=1.25$

(x_1,y_1)=(1.25,1.25)

$x_{2}=x_1+h=1.25+0.25=1.5$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=1.25+0.25*(1.25/1.25)=1.5$

(x_2,y_2)=(1.5,1.5)

我们继续使用欧拉方法直到 x=2 ．欧拉方法的结果如下表所示。

问题3

例子问题6:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ 在 x=2 在初始条件下 y(1)=1 步长 h=0.1 ．

可能的答案:

(2,3)

(2,1)

(2,2)

(2,1.75)

正确答案:

(2,2)

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

h=0.1

从初始点开始 (x_0,y_0)=(1,1)

$x_{1}=x_0+h=1+0.1=1.1$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=1+0.1*(1/1)=1.1$

(x_1,y_1)=(1.1,1.1)

$x_{2}=x_1+h=1.1+0.1=1.2$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=1.1+0.1*(1.1/1.1)=1.2$

(x_2,y_2)=(1.2,1.2)

我们继续使用欧拉方法直到 x=2 ．欧拉方法的结果如下表所示。

问题4

注:由于微分方程的简单性，欧拉方法即使步长较大，也能找到精确解，使用较小的步长是不必要的，更费时。

示例问题7:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=cos(x)$ 在 $x=\pi/2$ 在初始条件下 y(0)=0 步长 $h= \pi/10$ ．

可能的答案:

$(\pi/2,0.314)$

$(\pi/2,1.14)$

$(\pi/2,1.25)$

$(\pi/2,1.57)$

正确答案:

$(\pi/2,1.14)$

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=cos(x)$

$h= \pi/10$

从初始点开始 (x_0,y_0)=(0,0)

$x_{1}=x_0+h=0+\pi/10=\pi/10$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=0+(\pi/10)*cos(0)=\pi/10$

$(x_1,y_1)=(\pi/10,\pi/10)$

$x_{2}=x_1+h=\pi/10+\pi/10=\pi/5$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=\pi/10+(\pi/10)*cos(\pi/10)=\pi/5$

$(x_2,y_2)=(\pi/5,\pi/5)$

我们继续使用欧拉方法直到 $x=\pi/2$ ．欧拉方法的结果如下表所示。

问题7

例8:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=cos(x)$ 在 $x=\pi/2$ 在初始条件下 y(0)=0 步长 $h= \pi/20$ ．

可能的答案:

$(\pi/2,1.07)$

$(\pi/2,0.314)$

$(\pi/2,2)$

$(\pi/2,1.25)$

正确答案:

$(\pi/2,1.07)$

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=cos(x)$

$h= \pi/20$

从初始点开始 (x_0,y_0)=(0,0)

$x_{1}=x_0+h=0+\pi/20=\pi/20$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=0+(\pi/20)*cos(0)=\pi/20$

$(x_1,y_1)=(\pi/20,\pi/20)$

$x_{2}=x_1+h=\pi/20+\pi/20=\pi/10$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=\pi/20+(\pi/20)*cos(\pi/20)=\pi/10$

$(x_2,y_2)=(\pi/10,\pi/10)$

我们继续使用欧拉方法直到 $x=\pi/2$ ．欧拉方法的结果如下表所示。

第八题

问题9:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=y^2e^{x}$ 在 x=6 在初始条件下 y(0)=0.01 步长 h= 1 ．

可能的答案:

(6,1.0157)

(6,0.1089)

(6,0.1013)

(6,0.0239)

正确答案:

(6,0.1089)

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=y^2e^{x}$

h= 1

从初始点开始 (x_0,y_0)=(0,0.01)

$x_{1}=x_0+h=0+1=1$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=0.01+1*(0.01)^2*e^{0}=0.0101$

(x_1,y_1)=(1,0.0101)

$x_{2}=x_1+h=1+1=2$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=0.0101+1*(0.0101)*e^{1}=0.01038$

(x_2,y_2)=(2,0.01038)

我们继续使用欧拉方法直到 x=6 ．欧拉方法的结果如下表所示。

第11题

例子问题10:欧拉方法

用欧拉法求微分方程的解 $\frac{dy}{dx}=y^2e^{x}$ 在 x=6 在初始条件下 y(0)=0.01 步长 h= 0.5 ．

可能的答案:

(6,0.012)

(6,5.113)

(6,0.1089)

(6,0.013)

正确答案:

(6,5.113)

解释：

欧拉方法使用迭代方程来寻找微分方程的数值解。下面的方程

$x_{n+1}=x_n+h$

$y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)$

从初始条件开始，以期望值结束。 f(x_n,y_n) 是微分方程的解。

在这个问题中，

$f(x,y)=\frac{dy}{dx}=y^2e^{x}$

h= 0.5

从初始点开始 (x_0,y_0)=(0,0.01)

$x_{1}=x_0+h=0+0.5=0.5$

$y_{1}=y_0+h*f(x_0,y_0)=0.01+0.5*(0.01)^2*e^{0}=0.01005$

(x_1,y_1)=(0.5,0.01005)

$x_{2}=x_1+h=0.5+0.5=1$

$y_{2}=y_1+h*f(x_1,y_1)=0.01005+0.5*(0.01005)*e^{1}=0.01013$

(x_2,y_2)=(1,0.01013)

我们继续使用欧拉方法直到 x=6 ．欧拉方法的结果如下表所示。

问题12

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