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微积分2:向量的导数

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例子问题

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例子问题1:向量的导数

已知以下向量:

$\vec{u}=(x^n,arctan(x),3)$

求的二阶导数 $\vec{u}$ ．

可能的答案:

$\left(n(n-1)x^{n-2},\frac{-2x}{(1+x^2)^4},0\right)$

$\left(n(n-1)x^{n-2},\frac{2x}{(1+x^2)^2},0\right)$

$\left(n(n-1)x^{n-1},\frac{-2x}{(1+x^2)^2},0\right)$

$\left(n(n-1)x^{n-2},\frac{-2x}{(1+x^2)^2},3\right)$

$\left(n(n-1)x^{n-2},\frac{-2x}{(1+x^2)^2},0\right)$

正确答案:

$\left(n(n-1)x^{n-2},\frac{-2x}{(1+x^2)^2},0\right)$

解释：

为了得到二阶导数，我们必须对每个分量求导两次。我们知道如何区分以下内容:

$(x^n)''=n(n-1)x^{n-2}$ ．

我们还有:

$(arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}$

这就得到:

$\{arctan(x)\}''=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

对于常数分量，我们知道它的导数是零。

这给了我们我们正在寻找的解决方案:

$\vec{u}''=\left(n(n-1)x^{n-2},\frac{-2x}{(1+x^2)^2},0\right)$

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例子问题2:参数函数、极坐标函数和矢量函数的导数

考虑到 $f: \mathbb{R}^{n}}\rightarrow \mathbb{R}$ ．我们定义它的梯度为:

$\nabla f =\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right]$

让 $f: \mathbb{R}^{n}}\rightarrow \mathbb{R}$ 由:

$f(x_{1},x_{2},\cdots, x_{n}})=\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

的梯度是什么?

可能的答案:

$\left[\frac{2x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{2\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+2x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{2x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

正确答案:

$\left[\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}\cdots \frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}} \right]$

解释：

根据定义，为了找到梯度向量，我们必须找到梯度分量。我们知道梯度分量就是偏导数。

我们知道在我们的例子中，我们有:

$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\frac{x_{i}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

要看到这一点，修正所有其他变量，并假设您只有 $x_{i}$ 作为唯一的变量。

现在我们应用给定的定义，即

$\nabla f =\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right]$

$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=\frac{x_{1}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=\frac{x_{2}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=\frac{x_{3}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

$\vdots$

$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=\frac{x_{n}}{\sqrt{{x_{1}^2}+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}}$

这就给出了解。

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例子问题3:参数函数、极坐标函数和矢量函数的导数

让 $f:\mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}$ ．

的梯度定义为:

$\nabla f =\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right]$

让 $f=sin(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$ ．

求出向量梯度。

可能的答案:

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad -ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[x_{1}cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

正确答案:

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

解释：

我们首先注意到:

$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$

用链式法则 $x_{1}$ 是这里唯一的变量。

$\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2 cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$

用链式法则 $x_{2}$ 是这里唯一的变量。

继续以这种方式，我们有:

$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})$

还是用链式法则假设 $x_{n}$ 是变量，其他都是常数。

现在应用给定的梯度定义，我们得到了所需的结果。

$[cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n}) \quad 2cos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\quad \cdots\quad ncos(x_{1}+2x_{2}+\cdots nx_{n})\]$

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例子问题1:向量的导数

让

$\vec{u}=(\sqrt{1+t^2},2\sqrt{1+t^2},3\sqrt{1+t^2},\cdots n\sqrt{1+t^2})$

它的导数是什么 $\vec{u}$ ?

可能的答案:

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{2t}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t+1}}\right)$

正确答案:

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

解释：

为了求这个向量的导数，我们需要做的就是对每个分量对t求导。

求导时使用幂法则和链式法则。

$(\sqrt{1+t^2})dt=(1+t^2)^\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}(1+t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2t=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ 是第一个分量的导数。

$(2\sqrt{1+t^2})dt=2(1+t^2)^\frac{1}{2}dt=2\frac{1}{2}(1+t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2t=\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}}$ 第二部分。

$\vdots$

$(n\sqrt{1+t^2})dt=n(1+t^2)^\frac{1}{2}dt=n\frac{1}{2}(1+t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2t=\frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}$ 是最后一个分量的导数。我们得到:

$\left(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},\frac{2t}{\sqrt{t^2+1}},\cdots \frac{nt}{\sqrt{t^2+1}}\right)$

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例子问题2:向量的导数

让由:

$\vec{u}=(artan(t),artan(2t),\cdots,artan(n-1)(t))$

求导数 $\vec{u}$ ．

可能的答案:

$\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+4t^2},\frac{3}{1+9t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)^2t}\right)$

$\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+4t^2},\frac{3}{1+9t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)t^2}\right)$

$\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+4t^2},\frac{3}{1+3t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)^2t^2}\right)$

$\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+2t^2},\frac{3}{1+9t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)^2t^2}\right)$

$\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+4t^2},\frac{3}{1+9t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)^2t^2}\right)$

正确答案:

$\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+4t^2},\frac{3}{1+9t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)^2t^2}\right)$

解释：

为了求出u的导数，我们必须求出每个分量的导数。

利用链式法则，我们注意到:

$aratan(t)'=\frac{1}{1+t^2}$

$artan(2t)'=\frac{2}{1+(2t)^2}=\frac{2}{1+4t^2}$

$artan(3t)'=\frac{3}{1+(3t)^2}=\frac{3}{1+9t^2}$

我们继续以同样的方式:

$artan((n-1)t)'=\frac{(n-1)}{1+((n-1)t)^2}=\frac{n-1}{1+(n-1)^2t^2}$

将这些组件成对排序，我们有:

$\vec{u}'=\left(\frac{1}{1+t^2}, \frac{2}{1+4t^2},\frac{3}{1+3t^2}, \cdots\quad ,\frac{n-1}{1+(n-1)^2t^2}\right)$

这就是我们要展示的。

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例子问题3:向量的导数

让由:

$u(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=e^{b_{1}^2x_{1}+{b_{2}^2x_{2}}+\cdots+{b_{n}^2x_{n}}$

与 $b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots b_{n}^2=1$ ．

价值是什么 $\frac{\partial u}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}+\cdots +\frac{\partial u}{\partial x_{n}}$ ?

可能的答案:

$b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots b_{n}^2$

$1-b_{2}^2+\cdots b_{n}^2$

$b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots b_{n}^3$

正确答案:

解释：

为了得到想要的结果，我们必须对u的表达式对每个变量求导，并将导数相加。

我们有

$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}=b_{1}^2e^{b_{1}^2x_{1}+b_{2}^2x_{2}+\cdots +b_{n}^2x_{n}}$

$\frac{\partial u}{\partial x_{2}}=b_{2}^2e^{b_{1}^2x_{1}+b_{2}^2x_{2}+\cdots +b_{n}^2x_{n}}$

$\frac{\partial u}{\partial x_{3}}=b_{3}^2e^{b_{1}^2x_{1}+b_{2}^2x_{2}+\cdots +b_{n}^2x_{n}}$

$\vdots$

$\frac{\partial u}{\partial x_{n}}=b_{n}^2e^{b_{1}^2x_{1}+b_{2}^2x_{2}+\cdots +b_{n}^2x_{n}}$

我们也可以把上面的表达式写成:

$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}=b_{1}^2u$

$\frac{\partial u}{\partial x_{2}}=b_{2}^2u$

$\vdots$

$\frac{\partial u}{\partial x_{n}}=b_{n}^2u$

现在我们总结一下:

$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}+\cdots +\frac{\partial u}{\partial x_{n}}=(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots b_{n}^2)u}}$

但是我们知道:

$(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots b_{n}^2)=1$

这给:

$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}+\cdots +\frac{\partial u}{\partial x_{n}}=u$

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问题4:向量的导数

让 $\vec{u}=(t,tsin(t))$ 而且 $\vec{v}=(tcos(t),t)$

让 $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ ．它的导数是什么 $\vec{w}$ ?

可能的答案:

(cos(t)-(t+1)sin(t),cos(t)+cos(t)(t+1))

(cos(t)+(t+1)sin(t),sin(t)+cos(t)(t+1))

((1-tsin(t)+cos(t),1+tcos(t)+sin(t))

(cos(t)-(t-1)sin(t),sin(t)+cos(t)(t+1))

(cos(t)-(t+1)sin(t),sin(t)+cos(t)(t-1))

正确答案:

((1-tsin(t)+cos(t),1+tcos(t)+sin(t))

解释：

得到解的一种方法是先将两个函数相加得到 $\vec{w}$ 对每个分量求导得到结果。

将两个函数相加得到:

$\vec{w}=(t+tcos(t), tsin(t)+t)$

现在我们微分每个分量来求导数 $\vec{w}$ ．

我们有:

$\{t+tcos(t)\}'=1-tsin(t)+cos(t)$

$\{t+tsin(t)\}'=1+tcos(t)+sin(t)$

$\vec{w}'=((1-tsin(t)+cos(t),1+tcos(t)+sin(t))$

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例5:向量的导数

我们让 $\vec{u}=(t^{n},t^{m},t^{s})$ 与 $n>\{m,s\}, m, n , s\in\mathbb{N}$ ．

阶导数是什么的 $\vec{u}$ ?

可能的答案:

(n!,0,s!)

(n!,0,0)

(n,0,0)

(n,m,n)

(n!, m!, s!)

正确答案:

(n!,0,0)

解释：

为了得到导数，我们需要计算每个分量的导数。注意这里我们有一个多项式。

这也是已知的 n>m 而且 n> s m n s是正整数。

我们知道如果给定 f=t^n ,然后 $f^{[k]}=n(n-1)...(n-(k-1))t^{n-k}$

对于k=n，我们有 $[t^{n}]^{[n]}=n!$

而且

${\t^{m}\}^{[k]}=0$ $t^{m}^{[n]}=0$ 对于m< n。

以同样的方式，我们有:

$t^{s}^{[n]}=0$

这表明，阶n的导数为:

(n!,0,0)

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例子问题6:向量的导数

假设 $\vec{u}=(-e^{-t},artan(t),t-\frac{1}{t})$ 是移动车辆的矢量位置。速度可以是0吗?

可能的答案:

从来没有

是的, $(-\infty,0,1)$

是的, (0, 1 ,1)

$(0,\infty, 1)$

是的, $(-\infty, \infty,\infty)$

正确答案:

从来没有

解释：

我们首先要确定速度的表达式，看看当我们向无穷远处移动时会发生什么。

让我们先计算导数。要做到这一点，我们是组件化的。

我们有,

$(-e^{-t})'=e^{-t}$

$(artant)'=\frac{1}{1+t^2}$

$(t-\frac{1}{t})'=1+\frac{1}{t^2}$

因此速度的表达式。

因为我们有 $e^{-t}>0$ ， $\frac{1}{1+t^2}>0$ ， $1+\frac{1}{t^2}>0$ 对于所有t。

速度不可能是零。

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示例问题7:向量的导数

让

$\vec{u}=(tln(t),arctan(t),\frac{1}{1-t})$ ．

的价值是什么的 $\vec{u}$ 定义?

可能的答案:

[0,1]

(0, 1)

$(1,\infty)$

$(0 , 1)\cup (1 , \infty)$

$(0,\infty)$

正确答案:

$(0 , 1)\cup (1 , \infty)$

解释：

有 $\vec{u}$ 定义，我们需要在相同的区间上定义所有的分量， ln(t) 为 t>0

arctan(t) 对所有t都有定义。

$\frac{1}{1-t}$ 定义为 $t\neq 1$

这给了 $(t>0)\cap(t\neq 1)\cap (-\infty, \infty )=(0,1)\cup (1,\infty)$

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