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微积分2:参数的导数

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例子问题

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问题1:参数函数、极坐标函数和向量函数的导数

求以下参数方程的导数:

x=2t^3+5t^2-11t+3

y=7t^2-4t-18

可能的答案:

$\frac{5t^2+6t+3}{2t-11}$

$\frac{t^2-7t+8}{6t-2}$

$\frac{4(3t+4)}{2t^2+4t-3}$

$\frac{-14t+1}{8t^2+5t-2}$

$\frac{2(7t-2)}{6t^2+10t-11}$

正确答案:

$\frac{2(7t-2)}{6t^2+10t-11}$

解释：

我们先求x和y对t的导数，因为这两个方程都只能用这个变量表示

$\frac{dx}{dt}=6t^2+10t-11$

$\frac{dy}{dt}=14t-4$

这个问题要求我们求参数方程的导数dy/dx，从下面的功可以看出，当我们用dy/dt除以dx/dt时，dt项被消去了，剩下dy/dx:

$\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dx}$

现在我们知道了dx/dt和dy/dt，我们要做的就是求参数方程的导数就是用dy/dt除以dx/dt

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{14t-4}{6t^2+10t-11}=\frac{2(7t-2)}{6t^2+10t-11}$

报告错误

问题1:参数的导数

解决:

$\int sin^3xcos^4x dx$

可能的答案:

$\frac{1}{5} sin^5x - \frac{1}{6} sin^6x + C$

$\frac{1}{4} sin^4x + \frac{1}{7} sin^8x + C$

$\frac{1}{5} sin^5x - \frac{1}{7} cos^5x + C$

$-\frac{1}{5} cos^5x + \frac{1}{7} cos^7x + C$

$\frac{1}{4} cos^4x - \frac{1}{6} cos^6x + C$

正确答案:

$-\frac{1}{5} cos^5x + \frac{1}{7} cos^7x + C$

解释：

积分包括分解一个三角函数的幂，然后使用已知的三角恒等式。

$\int sin^3x cos^4x dx = \int [sin x \cdot sin^2x \cdot cos^4x]dx$ $= \int \left[sin x \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos 2x\right)\cdot cos^4x\right] dx$

$= \frac{1}{2}\int [sin x cos^4x - sin x cos 2x cos^4x]dx$

$= \frac{1}{2} \int [sin x cos^4x - sin x (2cos^2x - 1)cos^4x ]dx$

$= \frac{1}{2} \int [2sin x cos^4x - 2sin x cos^6x]dx$

$= \frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{5} \cdot 2cos^5x - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot- \frac{1}{7}cos^7x + C$

$= -\frac{1}{5} cos^5x + \frac{1}{7} cos^7x + C$

另一种方法是找出哪个选项的导数等于哪个选项的导数，为此我们得到:

${}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left(-\frac{1}{5} cos^5x + \frac{1}{7} cos^7x + C\right) = cos^4x\cdot sin(x) - cos^6x\cdot sin(x)$

${}= cos^4xsin(x)[1 - cos^2x] = cos^4x\cdot sin(x)\cdot sin^2x = sin^3xcos^4x$

报告错误

问题3:参数的导数

解出 $\frac{dy}{dx}$ 如果 x=2t^3 和 y=3t^4 ．

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

$\frac{3}{2}t$

正确答案:

解释：

写出求参数函数导数的公式。

$\large \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

找到 $\frac{dy}{dt}$ 和 $\frac{dx}{dt}$ 使用幂次法则 $f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．

$\frac{dy}{dt}=12t^3$

$\frac{dx}{dt}=6t^2$

代回公式，得到导数。

${} \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{12t^3}{6t^2}=2t$

报告错误

问题4:参数的导数

求以下参数函数的导数:

$x=t^2-1, y=\cos(t)+\sin(t)$

可能的答案:

$\frac{2t}{\cos(t)-\sin(t)}$

$\frac{\sin(t)-\cos(t)}{2t}$

$\cos(t)-\sin(t)$

$\frac{\cos(t)-\sin(t)}{2t}$

正确答案:

$\frac{\cos(t)-\sin(t)}{2t}$

解释：

参数函数的导数为:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

在哪里

$\frac{dy}{dt}=\cos(t)-\sin(t)$ , $\frac{dx}{dt}=2t$

衍生品是通过以下规则发现的:

$\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$

$\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$

$\frac{d}{dx}(x^n)nx^{n-1}$

简单地将导数除以如上所示。

报告错误

问题2:参数的导数

解出 $\frac{dy}{dx}$ 如果 $y=3t^{2}-2$ 和 $x=4t^{2}+6$ ．

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

$\frac{4}{3}t$

以上皆非

$\frac{3}{4}t$

$\frac{3}{4}$

正确答案:

$\frac{3}{4}$

解释：

给定方程和就…而言，我们可以得到参数方程的导数为:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ ，作为…项消掉了。

幂次法则的运用

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 鉴于 $y=3t^{2}-2$ 和 $x=4t^{2}+6$ ,

$\frac{dy}{dt}=(2)3t^{2-1}-(0)2=6t$ 和 $\frac{dx}{dt}=(2)4t^{2-1}+(0)6=8t$ ．

因此,

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{6t}{8t}=\frac{3}{4}$ ．

报告错误

问题6:参数的导数

求以下参数方程的导数:

$x=2t+\cos(t), y=t^2$

可能的答案:

$\frac{2+\sin(t)}{2t}$

$\frac{2-\sin(t)}{2t}$

$\frac{2t}{2+\sin(t)}$

$\frac{2t}{2-\sin(t)}$

正确答案:

$\frac{2t}{2-\sin(t)}$

解释：

参数方程的导数由下式给出:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

求y的导数，得到

$\frac{dy}{dt}=2t$

对于x的方程，你得到

$\frac{dx}{dt}=2-\sin(t)$

以下规则用于衍生品:

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$ , $\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$

报告错误

问题7:参数的导数

找到 $\frac{dx}{dy}$ 如果 x=cos(t) 和 y=sin(t) ．

可能的答案:

sec(t)

-cot(t)

tan(x)

-tan(t)

cot(t)

正确答案:

-tan(t)

解释：

写出公式来求参数方程的导数。

$\frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}$

$\frac{dx}{dt}= -sin(t)$

$\frac{dy}{dt}= cos(t)$

把已知的代入公式。

$\frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}=\frac{-sin(t)}{cos(t)}=-tan(t)$

报告错误

问题8:参数的导数

解出 $\frac{dy}{dx}$ 如果 x=5t+9 和 y=2t+7 ．

可能的答案:

$\frac{5}{2}$

$-\frac{2}{5}$

$-\frac{5}{2}$

$\frac{2}{5}$

正确答案:

$\frac{2}{5}$

解释：

我们可以确定 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 自在除法过程中，项会被消去。

自 x=5t+9 和 y=2t+7 ，我们可以用幂次法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 获得

$\frac{dx}{dt}=(1)5x^{1-1}=5$ 和 $\frac{dy}{dt}=(1)2t^{1-1}+(0)7=2$ ．

因此:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2}{5}$ ．

报告错误

问题9:参数的导数

解出 $\frac{dy}{dx}$ 如果 x=2t-5 和 y=3t+8 ．

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

以上皆非

$\frac{2}{3}$

$-\frac{3}{2}$

$-\frac{2}{3}$

正确答案:

$\frac{3}{2}$

解释：

我们可以确定 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 自在除法过程中，项会被消去。

自 x=2t-5 和 y=3t+8 ，我们可以用幂次法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 获得

$\frac{dx}{dt}=(1)2t^{1-1}-(0)5=2$ 和 $\frac{dy}{dt}=(1)3t^{1-1}+(0)8=3$ ．

因此:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3}{2}}$ ．

报告错误

问题10:参数的导数

解出 $\frac{dy}{dx}$ 如果 x=9t+1 和 y=4t+10 ．

可能的答案:

$-\frac{9}{4}$

$-\frac{4}{9}$

以上皆非

$\frac{9}{4}$

$\frac{4}{9}$

正确答案:

$\frac{4}{9}$

解释：

我们可以确定 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ 自在除法过程中，项会被消去。

自 x=9t+1 和 y=4t+10 ，我们可以用幂次法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ 获得

$\frac{dx}{dt}=(1)9t^{1-1}+(0)1=9$ 和 $\frac{dy}{dt}=(1)4t^{1-1}+(0)10=4$ ．

因此:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{4}{9}}$ ．

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