首先，我们必须记住分部积分的公式:

当我们选择将哪一项定义为u，哪一项定义为dv时，请记住，我们定义的u应该很容易求导得到du，我们定义的dv应该很容易积分得到v。如果我们看一下我们计算的积分，似乎这两项都可以很容易求导或积分，所以我们定义x/2为u, sin(4x)dx为dv。下一步是求du和v，对u求导，对dv积分

现在我们有了分部积分公式所需要的一切，我们可以简单地代入值并简化表达式:

我们的积分有正弦项和余弦项，所以我们的第一步是简化表达式确保它只由一个三角函数表示。为了做到这一点，我们需要从(cos(x))^3项中提出cos(x)这样我们就可以用三角恒等式来替换剩下的(cos(x))^2项

回想一下下面的三角恒等式，我们可以对(cos(x))^2重新排列然后代入我们的积分在这一项的位置:

现在我们可以看到，唯一不与sin相关的因数是最后一个(cos(x))dx。为了把这个因子用sin表示出来，我们必须提前考虑u的替换来计算这个积分。如果我们定义u为sin(x)下一步就是求du，我们可以通过对u求导得到cos(x)dx。这意味着我们可以用u来表示积分中的每个因子如下:

在用u代换的方法将每个因子用u表示后，我们可以将积分改写成更简单的形式，然后将其乘出来并求值:

现在我们的最后一步是简单地把sin(x)代回u

当我们使用部分分式的方法时，第一步是将多项式因式分解到分母中看看每个部分分式的分母中的项是什么。首先把积分方程的分母因式分解，然后把方程写成部分分式的形式

如果我们要把两个部分分数相加，它们需要一个公分母。和其他分数一样，我们用一个分数的分子和分母乘以另一个分数的分母来求公分母。然后把分母相同的分数加起来。在本例中，我们有:

这一项仍然等于我们正在积分的原始方程，现在它们的分母相同，如下所示，所以我们知道它们的分子也一定相等

我们的下一步是解决,为此,我们评估我们的表达高于一些x值,将取消我们的一个术语,解出B,然后再评估一些x值,将取消我们的B项,求解如果我们设置的因素A和B是乘以0,我们可以看到,一个术语是0 x = 2时,和我们的B项将0当x = 3。现在我们求表达式在x的这两个值处的值并解出未消去的项:

现在我们知道了A和B的值，我们把它们代回原来的部分分式，我们的积分变成:

我们可以求不定积分利用积分幂法则，它说明

对所有对于任意常数的积分．

将此规则应用于

．

对两个函数而且，复合函数而且它们之间并不总是平等的(尽管它们可以平等)。因此不定积分而且也不总是彼此相等，使得复合函数的答案选择是正确的答案，因为它描述了一种数学现象，而不是积分的性质。

如果,然后．

通过求不定积分，我们发现

这个积分需要运用分部积分公式。但是，在完成分部积分之前需要做一个轻微的替换。

分部积分法:

u是一个可微函数，dv是一个可以被积分的函数。

如果我们看这个积分:

我们注意到分解成两个函数，其中一个函数类似于欧拉数(e)。

我们现在可以做一个替换:

积分现在变成:

这个积分现在可以用分部积分法求解了。

让:

现在代入g的原始值会得到一个答案选项:

当处理三角函数的积分时，有时用sin和cos的形式来重写这些积分是很有帮助的。让我们试试这个:

现在，用" u -代换法"这个有点"棘手"的积分可以转化成我们非常熟悉的东西。

让:

变换后的积分现在看起来像:

用上面的替换替换“u”会得到:

这个答案是一个有效的选择，但是答案选项似乎没有显示这个值。

通过使用下面的对数法则，我们可以找到与这个结果相似的表示形式:

所以我们可以将上面的结果改写为:

利用事实:

最终结果是:

求这个积分需要用到“三角函数的乘积和公式”:

:

对于给定的积分，我们可以写成这样:

这可以重写为两个独立的积分，并用一个简单的代换来求解。

分别求解每个积分，我们有:

将其代入积分得到:

另一个积分也可以用同样的方法求解:

将其代入积分得到:

现在把这两个表述结合在一起，就得到了其中一个答案选项:

这个积分可以很容易地计算，通过遵循sin和cos幂的积分规则。

但首先需要做一个替换:

现在我们已经做了这个替换，我们将使用对sin和cos的幂函数进行积分的规则:

一般来说:

1.如果m是奇数，我们就做替换，我们使用恒等式．

2.如果n是奇数，我们就做替换，我们使用恒等式．

对于我们给定的问题，我们将使用第一条规则，并像这样修改积分:

现在我们需要代回v：

现在我们需要代回u，并重新排列，使其看起来像一个答案选项: