首先，我们必须记住分部积分的公式:

当选择哪一项定义为u哪一项定义为dv时，记住我们定义的u应该很容易微分得到du，我们定义的dv应该很容易积分得到v，如果我们看一下我们正在计算的积分，似乎任何一项都可以很容易微分或积分，所以我们定义x/2为u, sin(4x)dx为dv。下一步是求出du和v，对u求导，对dv积分

现在我们已经有了分部积分公式所需要的一切，我们可以简单地代入值并化简表达式:

我们的积分既有正弦项又有余弦项，所以我们的第一步是化简表达式以确保它只包含一个三角函数。要做到这一点，我们需要从(cos(x))^3项中提出cos(x)，这样我们就可以用一个三角恒等式来替换剩下的(cos(x))^2项:

回想一下下面的三角恒等式，我们可以把它重新排列成(cos(x))^2然后代入积分中代替这一项

现在我们可以看到唯一没有用sin表示的因子是最后一个cos(x) dx。为了用sin来表示这个因子，我们必须提前考虑u的替换我们要对积分求值。如果我们定义u为sinx，下一步就是确定du，我们可以通过对u求导得到cos(x)dx。这意味着我们可以用u表示积分的每个因子，如下所示:

通过u代换将每个因子用u表示后，我们可以把积分写成更简单的形式，然后我们可以把它乘出来求值:

最后一步是用sin(x)代回u

当我们使用部分分式的方法时，我们的第一步是把多项式分解到分母中看看每个部分分式的分母中都有哪些项。首先我们对要积分的方程的分母因式分解，然后我们把方程写成部分分式

如果我们要把两个部分分式相加，它们需要一个公分母。和其他分数一样，我们用一个分数的分子和分母乘以另一个分数的分母来求公分母。然后把这些分母相同的分数加在一起。在这种情况下，我们有:

这一项仍然等于我们积分的原方程，现在它们都有相同的分母，如下所示，所以我们知道它们的分子也必须相等

我们的下一步是解决,为此,我们评估我们的表达高于一些x值,将取消我们的一个术语,解出B,然后再评估一些x值,将取消我们的B项,求解如果我们设置的因素A和B是乘以0,我们可以看到,一个术语是0 x = 2时,和我们的B项将0当x = 3。现在我们求出这两个x的值然后解出没有消去的那一项

现在我们知道了A和B的值，我们把它们代回到原来的部分分式中，发现积分变成了:

我们可以求不定积分用积分的幂次法则，它说

对所有加上积分的任意常数．

将此规则应用于

．

对于两个函数和，复合函数和并不总是相等的(尽管它们可以相等)。的不定积分和也不总是相等的，这使得选择复合函数的答案是正确的答案，因为它描述的数学现象不是积分的性质。

如果,然后．

通过计算不定积分，我们发现

这个积分需要应用分部积分公式。然而，在完成分部积分之前，需要做一个轻微的替换。

分部积分法:

其中u是可微函数，dv是可积分函数。

如果我们看一下积分:

我们注意到变成两个函数，其中一个类似于欧拉数的指数(e)。

现在我们可以做一个替换:

积分现在变成:

这个积分现在可以用分部积分法求解了。

让:

现在代入“g”的原始值，结果是其中一个选项:

在处理三角函数的积分时，有时用“sin”和“cos”来重写这些积分是有帮助的。让我们试试这个:

现在，使用u替换，这个有点棘手的积分可以转化成我们熟悉的东西。

让:

变换后的积分现在看起来像:

用上面的替换替换“u”得到:

这个答案是一个有效的选择，但是答案选项似乎没有显示这个值。

通过使用下面的对数法则，我们可以得到与这个结果类似的表达式:

所以我们可以把上面的结果重写为:

利用这个事实:

最后的结果是:

计算这个积分需要用到“三角函数的乘积和公式”:

:

对于给定的积分，我们可以这样重写:

这可以写成两个单独的积分用一个简单的代换来求解。

单独求解每个积分，我们有:

把这个代入积分得到:

另一个积分用同样的方法求解:

把这个代入积分得到:

现在把这两个表述结合在一起就得到了其中一个答案:

这个积分可以很容易地通过对正弦和余弦的幂进行积分来求值。

但首先需要做一个替换:

现在我们已经做了这个替换，我们将使用概述的规则来积分正弦和余弦的幂:

一般来说:

1.如果m是奇数，那么我们进行替换，我们用恒等式．

2.如果n是奇数，我们就做替换，我们用恒等式．

对于给定的问题表述，我们将使用第一条规则，并将积分修改为:

现在我们需要把它代回v：

现在我们需要把它代回u，并重新排列，使其看起来像一个答案选项: