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微积分2:定积分

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问题1:定积分

评估: $\int_{\pi}^{5\pi} sin(\theta)-cos(\theta) \:d\theta$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

定积分 $\int_{\pi}^{5\pi} sin(\theta)-cos(\theta) \:d\theta$ 可以整合为:

$[-cos(\theta)-sin(\theta)]_{\pi}^{5\pi}$

求积分限。注意标志的变化。

$=[-cos(5\pi)-sin(5\pi)]-[-cos(\pi)-sin(\pi)]$

=[-(-1)-0]-[-(-1)-0]=[1]-[1]=0

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问题2:定积分

评估:

$\int_{1}^{6}(3x+4)\: dy$

可能的答案:

15x+20

94y

$\frac{145}{2}$

正确答案:

15x+20

解释：

注意，我们是对y积分，而不是对x积分，这意味着被积函数本身被视为常数。

$\int_{1}^{6}(3x+4)\: dy$

因为我们只有一个常数，积分意味着增加变量y的值，因此我们得到如下，

$(3x+4)\int_1^6dy=(3x+4)\frac{y^{0+1}}{0+1}=(3x+4)y$

$= (3x+4)y|_{1}^{6}$ ．

从这里代入积分限。我们取函数的上界值减去函数的下界值。

= (3x+4)(6)-(3x+4)(1)

=(3x+4)(5)

=15x+20

报告错误

问题3:定积分

计算下面的定积分。

$\int_{0}^{1}(e^{2x}+x+2) dx$

可能的答案:

$\frac{e^2}{2}+2$

e^2 +2e

$\frac{1}{2}e^2$

$\frac{1}{2}e^2 + \frac{5}{2}$

e+2

正确答案:

$\frac{e^2}{2}+2$

解释：

为了帮助我们求积分，我们可以把表达式分成3部分:

$y(x)= \int_{0}^{1}(e^{2x}+x+2) dx = \int_{0}^{1}e^{2x} dx + \int_{0}^{1}x dx+\int_{0}^{1}2 dx$ ．

这样我们就可以求出这三部分的积分，对它们求和，然后求出从0到1的求和部分。

第一个积分是 $\int_{0}^{1}e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ ．

第二个积分是 $\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}x^2$ ．

第三个积分是 $\int_{0}^{1}2 dx=2x$ ．

把这些项加起来求0到1之间的值。

$\left(\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}x^2+2x\right)|_0^1$

$\left(\frac{1}{2}e^{2}+\frac{1}{2}+2\right)-\left(\frac{1}2}\right)= \frac{1}{2}e^2 +2$

报告错误

问题1:定积分

求下面的积分:

$\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}3sin(2x)+1 dx$

可能的答案:

$-3 -\pi$

$\pi$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi-3$

$-\frac{3}{2}\pi$

正确答案:

$\pi$

解释：

正弦函数积分的一般表达式是:

$\int sin(ax)=-\frac{1}{a}cos(ax)$

利用这个，上面的积分变成，

$-\frac{3}{2}cos(2x)+x |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$\left(-\frac{3}{2}cos\left(2\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+\frac{\pi}{2} \right)-\left(-\frac{3}{2}cos\left(2\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)-\frac{\pi}{2} \right)$ ，化简为

$\left(\frac{\pi}{2} \right)-\left(-\frac{\pi}{2} \right)=\pi$

报告错误

问题5:定积分

求下面的积分:

$\int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{8x+9}}$

可能的答案:

$4\ln(\frac{5}{3})$

$4\ln(\frac{3}{5})$

$\ln \frac{5}{3}$

正确答案:

$4\ln(\frac{5}{3})$

解释：

要积分，首先要做以下替换:

$u=(8x+9)^{\frac{1}{2}}, du=4(8x+9)^{-\frac{1}{2}}$

使用以下规则找到导数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

现在，重写给定的积分，把积分限换成将上界和下界代入方程就…而言)，并整合:

$4 \int_{3}^{5} \frac{du}{u}=4(\ln\left | 5\right |-\ln\left | 3\right |)=4\ln(\frac{5}{3})$

使用以下规则进行积分:

$\int \frac{dx}{x} = \ln\left | x\right |+C$

要进行定积分，只需代入积分上限，再减去代入积分下限的结果，如上图所示。将结果化简，我们得到

$4\ln(\frac{5}{3})$

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问题6:定积分

计算定积分的值。

$\int_{0}^{9}x+5\,dx$

可能的答案:

85.5

40.5

正确答案:

85.5

解释：

为了计算定积分，我们应用幂次反比法则

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

把它一项一项地应用到这个问题中，我们得到

$\int_{0}^{9}x+5\,dx = \Big(\frac{x^2}{2}+5x\Big)\Big|_{0}^{9}$

根据微积分基本定理的推论定积分变成

$=\frac{9^2}{2}+5(9)-\Big(\frac{0^2}{2}+5(0)\Big)$

所以

$\int_{0}^{9}x+5\,dx = 85.5$

报告错误

问题7:定积分

计算定积分的值。

$\int_{0}^{5}4\,dx$

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了计算定积分，我们应用幂次反比法则

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

把这个应用到这个问题中，我们得到

$\int_{0}^{5}4\,dx = (4x)\Big|_{0}^{5}$

根据微积分基本定理的推论定积分变成

=4(5)-4(0)=20

所以

$\int_{0}^{5}4\,dx = 20$

报告错误

问题8:定积分

评估: $\int_{0}^{100}dx$

可能的答案:

100

100+C

正确答案:

100

解释：

积分可以写成:

$\int_{0}^{100}dx= \int_{0}^{100} 1\:dx$

常数的积分就是常数乘以被积分的变量。代入上界，代入下界再相减。

$\int_{0}^{100} 1\:dx = x|_{0}^{100} = 100-0 = 100$

不需要添加a当我们处理定积分时，最后的项。

答案是: 100

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问题9:定积分

评估: $\int_{\frac{1}{2}}^{1} x-2 \:dx$

可能的答案:

$\frac{1}{8}$

$-\frac{5}{8}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{11}{8}$

$\frac{3}{8}$

正确答案:

$-\frac{5}{8}$

解释：

对每一项积分。

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x-2 \:dx = \frac{x^2}{2} - 2x|_{\frac{1}{2}}^{1}$

代入上界，代入下界后再相减。

$\frac{x^2}{2} - 2x|_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1^2}{2} - 2(1) - (\frac{(\frac{1}{2})^2}{2} - 2(\frac{1}{2}))$

方程的右边变成了:

$=\frac{1}{2} - 2- ((\frac{1}{4}\times \frac{1}{2} - 2(\frac{1}{2}))$

$=\frac{1}{2} - 2- (\frac{1}{8}- 1)$

把所有分数转换成最小公分母。

$=\frac{4}{8} - \frac{16}{8}- (\frac{1}{8}- \frac{8}{8})$

简化这些项。

$=-\frac{12}{8} - (-\frac{7}{8}) = -\frac{12}{8} +\frac{7}{8} = -\frac{5}{8}$

答案是: $-\frac{5}{8}$

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问题10:定积分

解积分:

$\int_{0}^{1}xe^{2x}dx$

可能的答案:

$= \frac{1}{4}(7e^{2}-1)$

$= \frac{1}{2}(7e^{2}+1)$

$= \frac{1}{2}(1-7e^{2})$

$= \frac{1}{4}(7e^{2}+1)$

没有选择。

正确答案:

$= \frac{1}{4}(7e^{2}+1)$

解释：

$\int xe^{2x}dx =\int udv = uv - \int vdu$

要选哪一项是什么或．

u = x ，求导得到 du = dx

$dv = e^{2x}dx$ ，积分得到 $v = \frac{e^{2x}}{2}$

把部分代入方程:
$uv - \int vdu$ $= xe^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x}dx$

再做一次积分，加上积分限，得到:

$\Big[e^{2x}(x-\frac{1}{4})\Big]^{1}_{0} = e^{2}(\frac{7}{4}) + \frac{1}{4}$ $= \frac{1}{4}(7e^{2}+1)$

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