我们将用积分检验来证明这个结果。

我们需要注意以下几点:

是正的，递减的和．

通过积分判别法，我们知道这个级数是积分．

我们知道上面的积分是有限的。

这意味着这个级数

是收敛的。

我们知道:

因此我们可以推导出:

我们将用比较测验来解决这个问题。为了做到这一点，我们将看一下一般形式的函数．

我们可以这样做，

而且当n趋于无穷时趋于0。函数的极限变成，

这最后一部分给了我们．

现在我们知道了注意到是一个收敛的几何级数。

通过比较检验，我们推导出该级数

具有一般条款是收敛的。

我们将用比较检验来证明这个结果。我们必须注意以下几点:

是正的。

我们有所有自然数n:

，这意味着

．

求倒数得到:

从1到求和，我们有

我们知道是不同的。因此通过比较检验:

是不同的

我们将使用极限比较检验来建立这个结果。

我们需要注意以下限制

当n→∞时，趋于1。

因此，级数具有相同的性质。它们要么同时收敛，要么同时发散。

我们将重点关注这个系列:

．

我们知道这个级数是收敛的因为它是p级数。(请记住,

如果p>为1则收敛p=3/2这里p大于1)

通过极限比较检验，我们推导出级数是收敛的，这就是我们需要证明的。

为了得到一个收敛的级数我们必须让这个级数的一般项在n趋于时趋于0．

我们有一个通称:

因此，我们有．

这意味着一般项不会趋近于0。

因此级数是发散的。

我们首先注意到这个级数的一般项是正的。

当n趋于0时，它也趋于0．我们将使用积分比较检验来显示这个结果。

注意，对于积分，级数的性质是相同的:

最后一个积分是发散的，因为它不等于0。

因此我们的级数也是发散的。

我们首先注意到，我们可以将通式写成:

把这一项再化简一下，得到

我们注意到，这个级数是收敛的几何级数。

这就是我们要展示的。

我们知道如果一个级数是收敛的，那么它的通项必须趋于0．

我们有是这种情况下的通称。

我们有．

由于一般项不趋于0，级数是发散的。

我们将使用极限比较检验来研究级数的性质。

我们首先注意到，级数为正。

我们将把一般项与．

我们注意到这一点而且，我们有:

．

因此这两个级数具有相同的性质(它们要么同时收敛，要么同时发散)。

我们将利用积分检验，推导出具有通项的级数:

是收敛的。

注意，我们知道这一点p>是收敛的，这里p=8。

这说明级数具有通项是收敛的。

通过极限检验，得到具有一般项的级数是收敛的。

这表明级数是收敛的。

我们将使用比较检验来证明这个结果。

我们首先需要注意的是为．

我们知道,在那里．

对上述不等式求倒数，有:

．

现在我们将使用比较测验。

我们知道这个级数是不同的。

因此,

也是发散的。