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微积分2:交替级数

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例子问题

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例子问题1:交替系列

根据定义，交替级数是-形式的级数

可能的答案:

$\sum_{k=k_0}^{\infty} (-1)^k \cdot a_k$

$\sum_{k=k_0}^{\infty} (-1)^k + a_k \cdot a_{k+1}$

其他答案都没有

$\sum_{k=k_0}^{\infty} [(-1)^k\cdot a_{k+1} + (-1)^{k+1} \cdot a_k]$

正确答案:

$\sum_{k=k_0}^{\infty} (-1)^k \cdot a_k$

解释：

这种类型的系列，我们可以经常检查收敛/发散使用交替系列测试。

$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+...$

有奇数值的项变得消极 (-1)^n=-1 这些项的值为偶数是积极的。这就产生了在和中出现的交替符号。

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问题41:系列类型

对下列函数求导。

$f(x)=x^4+\frac{x}{3x^2}+9$

可能的答案:

f'(x)=x^3+999

$f'(x)=4x^3+\frac{1}{3x^3}$

$f'(x)=\frac{1}{4}x^2+3x$

$f'(x)=4x^3-\frac{1}{3x^2}$

正确答案:

$f'(x)=4x^3-\frac{1}{3x^2}$

解释：

为了区分函数，我们需要使用幂法则，它规定:

$f(x)=ax^n \rightarrow f'(x)=nax^{n-1}$

看一下我们的函数，我们可以先化简方程。

$f(x)=x^4+\frac{x}{3x^2}+9=x^4+\frac{1}{3x}+9$

应用幂法则，我们得到:

$f'(x)=4x^3-\frac{1}{3x^2}$

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例子问题1:交替系列

级数是多少 $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n}$ 有条件地收敛，绝对地收敛，还是发散?

可能的答案:

发散的。

根据给定的信息无法判断。

绝对收敛。

不存在。

收敛条件。

正确答案:

收敛条件。

解释：

级数是有条件收敛的。

级数的绝对值 $\sum_{n=0}^{\infty }\left |\frac{(1)^n}{n} \right |$ 发散的p级数是 $p\leq 1$ ．

然而，数列的极限 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(-1)^n}{n}=0$ 这是一个递减序列。

因此，通过交替级数检验，该级数是有条件收敛的。

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例子问题1:幂级数收敛的半径和区间

求的收敛区间对于这个系列 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3^nx^n}{n!}$ ．

可能的答案:

(-1,0)

$\left [ \frac{-1}{3}, \frac{1}{3} \right ]$

$\left ( -3, 3\right )$

$\left ( -\infty , \infty \right )$

$\left ( \frac{-1}{3}, \frac{1}{3} \right )$

正确答案:

$\left ( -\infty , \infty \right )$

解释：

使用根检验，

$\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{3^{n+1} x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^nx^n} \right |=\left | 3x\right |\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{1}{n+1} \right |=0$

因为0总是小于1，根检验表明级数对x的任意值都收敛。

因此，收敛区间为:

$(-\infty, \infty)$

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问题41:系列类型

确定是否

$\small \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$

收敛或发散，并解释原因。

可能的答案:

收敛的 $\small p$ 系列测试。

还需要更多的测试。

收敛的，通过交替级数检验。

分歧者，通过比较检验。

发散性，通过发散性测试。

正确答案:

收敛的，通过交替级数检验。

解释：

我们可以用交替级数检验来证明

$\small \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$

是收敛的。

我们必须 $\small \sin \frac{1}{n}\geq 0$ 为 $\small n\geq 1$ 为了使用这个测试。这很容易看出，因为 $\small \frac{1}{n}$ 是在 $\small \small \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 对所有 $\small n\geq 1$ (该序列的值为 $\small 1,1/2,1/3,1/4,...$ )，并且当sin的参数为in时，sin总是非零 $\small \small \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ．

现在我们必须证明这一点

1. $\small \small \lim_{n\to\infty} \sin \frac{1}{n}=0$

2. $\small \sin \frac{1}{n}$ 是递减序列。

的极限

$\small \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

意味着

$\small \small \small \lim_{n\to\infty} \sin \frac{1}{n}=\sin 0=0$

所以第一个条件满足了。

我们可以证明 $\small \small \small \sin \frac{1}{n}$ 是通过求导得到小于来递减的吗 $\small 0$ 为 $\small n\geq 1$ ：

$\small \small \small \small \small \frac{d}{dn}\sin \frac{1}{n}=-\frac{1}{n^2}\cos\frac{1}{n}$

导数小于 $\small 0$ ,因为 $\small -\frac{1}{n^2}$ 总是小于 $\small 0$ ，以及 $\small \cos \frac{1}{n}$ 是阳性的 $\small n\geq 1$ ，使用了我们用来证明它的类似的论点 $\small \small \sin \frac{1}{n}\geq 0$ 为 $\small n\geq 1$ ．因为导数小于 $\small 0$ ， $\small \small \small \sin \frac{1}{n}$ 是递减序列。现在我们已经证明了这两个条件是满足的，所以我们已经证明了

$\small \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$

通过交替级数检验，是收敛的。

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例子问题2:带误差界的交替级数

该系列: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{n^n}{8^n})$ ，确定级数是收敛还是发散。如果有分歧，选择最好的理由。

可能的答案:

$\textup{Converge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

$\textup{Diverges, since the terms are not progressively decreasing}.$

$\textup{Converge, since all Alternating Series Test rules are satisfied.}$

$\textup{Diverges, by the Geometric Series Test.}$

$\textup{Diverge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

正确答案:

$\textup{Diverge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

解释：

所给出的级数是一个交替级数。

写出交替级数检验中满足收敛性的三条规则。

为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} x_n= x_1-x_2+x_3-x_4+...$ ：

$\textup{1. All the } x_n \textup{ terms are positive.}$

$\textup{2. The terms must be decreasing: } x_n \geq x_{n+1}$

$\textup{3. The limit }\lim_{n \to \infty}x_n=0.$

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{n^n}{8^n})=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{n}{8})^n$

第一个和第二个条件是满足的，因为这些项是正的，并且在每一项之后都在减少。

然而，第三个条件不成立，因为 $\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0$ 而是趋于无穷。

正确答案是:

$\textup{Diverge, since}\lim_{n \to \infty}x_n\neq 0.$

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例5:交替系列

的级数表达式以下序列的项。

1-2+4-8+16-32+64-128...

可能的答案:

$\sum_{k=0}^{n} 2k$

$\sum_{k=0}^{n} 2^k$

$\sum_{k=0}^{n} (-2)^k$

这个数列不能表示为一个级数。

$\sum_{k=0}^{n} k^2$

正确答案:

$\sum_{k=0}^{n} (-2)^k$

解释：

如果我们看这个序列

1-2+4-8+16-32+64-128...

我们应该注意到的第一件事是，它是从正到负交替的。这意味着我们将有

(-1)^k ．

我们要注意的第二件事是数列以2的幂递增。

这样我们也会有

2^k ．

现在我们可以把这些表述结合起来，写成一个级数的形式。

$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k*2^k$

我们可以化简成

$\sum_{k=0}^{n} (-2)^k$ ．

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例子问题6:交替系列

判断级数是收敛的还是发散的:

$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n\left(\frac{n^3}{3n^3+n^2+1}\right)$

可能的答案:

这个级数是条件收敛的。

级数可以是收敛的，发散的，或者是条件收敛的。

级数(绝对)收敛。

这个级数是发散的。

正确答案:

这个级数是发散的。

解释：

为了确定这个交替级数是收敛的还是发散的，我们必须使用交替级数检验，它说明了这个级数

$\sum a_{n}$ 而且 $a_{n}=(-1)^n(b_{n})$ ，

在哪里 $b_{n}\geq n$ 对于所有n，如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$ 而且 ${b_{n}}$ 为递减序列，则级数收敛。

首先，我们必须确定 ${b_{n}}$ ，即 $\frac{n^3}{3n^3+n^2+1}$ ．求极限的时候 ${b_{n}}$ 当n趋于无穷时，我们得到

$\lim_{n \to \infty }\frac{n^3}{3n^3+n^2+1}=\lim_{n \to \infty }\left(\frac{n^3}{n^3}\right)\left(\frac{1}{3+n^{-1}+n^{-3}}\right)=\frac{1}{3}\neq0$

注意，对于极限，负幂项趋近于零，所以剩下的东西不等于零。

因此，由于测试失败，级数是发散的。

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问题4:带误差界的交替级数

判断级数是收敛还是发散:

$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}\left(\frac{n^4}{2n^4+1}\right)$

可能的答案:

级数可以是收敛的，发散的，或者是条件收敛的。

级数(绝对)收敛。

这个级数是条件收敛的。

这个级数是发散的。

正确答案:

这个级数是发散的。

解释：

为了确定级数是收敛的还是发散的，我们必须使用交替级数检验，它说明了

$\sum a_{n}$ - - - $a_{n}=(-1)^{n+1}b_{n}$ 在哪里 $b_{n} \geq 0$ 对于所有的n -收敛，

$\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}$ 必须等于0并且 $b_{n}$ 一定是递减级数。

在我们的系列中，

$\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^4}{2n^4+1}=\frac{1}{2}$

因为它就像

$\lim_{n\rightarrow \infty }\left(\frac{1}{2}\right)\frac{n^4}{n^4}=\frac{1}{2}$ ．

测试失败是因为 $\frac{1}{2}\neq0$ 所以我们不需要检查第二个条件的测试。

这个级数是发散的。

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示例问题7:交替系列

判断下列级数是收敛的还是发散的:

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n+n^2}$

可能的答案:

根据交替级数检验的发散性

根据比值检验是发散的

根据交替级数试验不确定

根据交替级数检验是收敛的

正确答案:

根据交替级数检验是收敛的

解释：

这是一个交替级数。

交替级数可以被识别，因为级数中的项会在+和-之间“交替”，因为 $(-1)^{n}$

注:交替级数检验只能显示收敛性。它不能显示分歧。

如果下列两个检验为真，则交替级数收敛。

$a_{n} = (-1)^{n} * b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$
｛ $b_{n}$ }是一个递减序列，或者换句话说 $b_{n=1}' < 0$

解决方案:

$b_{n}=\frac{1}{n+n^2}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n+n^2}=0$

$b_{n}'=(\frac{1}{n+n^2})'$

$b_{n}'=\frac{-(n^{2}+n)'}{(n^2+n)^2}$

$b_{n}'=\frac{-(2n+1)}{(n^2+n)^{2}}$

$b_{1}'=\frac{-(2+1)}{(1+1)^2}=\frac{-3}{4} < 0$

由于通过了两个测试，这个级数是收敛的。

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