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微积分1:积分表达式

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例子问题

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例子问题1:如何找到积分表达式

曲线下的面积是多少 2^x 为 x < 0 ?

可能的答案:

e^2

$\frac{1}{\ln 2}$

$\ln 2$

正确答案:

$\frac{1}{\ln 2}$

解释：

用正指数规则 $2^x = e^{x \ln 2}$ 我们建立了定积分

$\int_{-\infty}^{0} e^{x \ln 2} ~dx$ ，

它集成为:

$\left[ \frac{e^{x \ln 2}}{\ln 2}\right]_{-\infty}^0 = \frac{2^0 - 2^{-\infty}}{\ln 2} = \frac{1 - 0}{\ln 2}$

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例子问题1:如何找到积分表达式

高斯积分公式表明

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} ~ dx = \sqrt{\pi}$ ．

的积分是什么

$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 ~ e^{-x^2} ~ dx$ ?

可能的答案:

$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\sqrt{2\pi}$

$\frac{\pi}{4}$

$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

$\sqrt{\pi}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

解释：

分部积分

u = x ， du = dx

$v = - \frac{1}{2} e^{-x^2}$ ， $dv = x ~e^{-x^2}~dx$ ，

我们得到:

$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \int_A^B u ~ dv = \left[ u v\right ]_A^B - \int_A^B v ~ du$

$= \left[ \frac{-x}{2} e^{-x^2} \right ]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-1}{2} e^{-x^2}~ dx = [0 - 0] - \frac{-1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

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例子问题1:如何找到积分表达式

确定 f(x) 考虑到 f'(x)=15x^4+14x^3-9x^2+5x-16 ．

可能的答案:

$\frac{15}{4}x^5+\frac{14}{3}x^4-18x^3+5x^2-16x+C$

$-\frac{15}{4}x^5-\frac{14}{3}x^4+18x^3-5x^2+16x$

5x^3+42x^4-18x^3+5x^2-32x+C

$3x^5+\frac{7}{2}x^4-3x^3+\frac{5}{2}x^2-16x+C$

$-3x^5-\frac{7}{2}x^4+3x^3-\frac{5}{2}x^2+16x$

正确答案:

$3x^5+\frac{7}{2}x^4-3x^3+\frac{5}{2}x^2-16x+C$

解释：

这个问题要求你计算给定函数f ' (x)的不定积分。对函数的每一项关于x积分，我们简单地将每个系数除以(n+1)，其中n是该特定项在x上的指数值，然后将每个x上的指数值加上1。这就得到:

$f(x)=\int f'(x)dx=\int (15x^4+14x^3-9x^2+5x-16)dx$

$f(x)=3x^5+\frac{7}{2}x^4-3x^3+\frac{5}{2}x^2-16x+C$

一个正确的答案必须包含一个常数C，因为原始函数可能有一个常数，这个常数没有反映在它的导数方程中。

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问题4:如何找到积分表达式

下面这个定积分的值是多少?

$\int_{0}^{\pi /2}\bigg(-5sin(x)-3cos(x)+\frac{4}{\pi }\bigg)dx$

可能的答案:

$-5-3cos\bigg(\frac{\pi }{2}\bigg)$

$5cos\bigg(\frac{\pi }{2}\bigg)+3$

正确答案:

解释：

我们从括号中的函数关于x的积分开始，然后用上限的值减去下限的值:

$\int_{0}^{\pi /2}\bigg(-5sin(x)-3cos(x)+\frac{4}{\pi })dx=(5cos(x)-3sin(x)+\frac{4}{\pi }x\bigg)_{0}^{\pi /2}$

$=(5cos(\frac{\pi }{2})-3sin(\frac{\pi }{2})+\frac{4}{\pi }(\frac{\pi }{2}))-(5cos(0)-3sin(0)+\frac{4}{\pi}(0))$

=(-3+2)-(5)=-6

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例5:如何找到积分表达式

确定推一个箱子所需的工作量 x=2 米 x=5 米，给出以下力的函数:

$F(x)=x^2-sin(2x)+\frac{1}{x}$

可能的答案:

$43.2 \text{ J}$

$78.9\text{ J}$

$14.2 \text{ J}$

$39.8 \text{ J}$

$19.8 \text{ J}$

正确答案:

$39.8 \text{ J}$

解释：

这个问题意在说明微积分在物理领域的一种可能的应用。物理中功的方程如下:

$W=\int F(x)dx$

利用这个方程，我们简单地建立了一个定积分，其边界由问题的兴趣区间给出:

$W=\int_{2}^{5}\bigg(x^2-sin(2x)+\frac{1}{x}\bigg)dx$

$W=\bigg(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}cos(2x)+ln(x)\bigg)_{2}^{5}$

$W=\bigg(\frac{1}{3}(5)^3+\frac{1}{2}cos(10)+ln(5)\bigg)-\bigg(\frac{1}{3}(2)^3+\frac{1}{2}cos(4)+ln(2)\bigg)$

W=39.8 焦耳

计算完积分后，我们可以看到把盒子从x=2米推到x=5米所需要的功是39.8焦耳。

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例子问题6:如何找到积分表达式

求区间内的定积分 $0\leq x \leq 1$ ．

$\int(5x^{4}+x^{2}-x)dx$

可能的答案:

$-\frac{5}{6}$

$\frac{5}{6}$

正确答案:

$\frac{5}{6}$

解释：

为了解决这个问题，我们必须知道这一点

$\int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a)$

在本例中，我们有:

$\int_{0}^{1} (5x^{4}+x^{2}-x)dx$

我们的第一步是整合:

$\int(5x^{4}+x^{2}-x) dx=x^{5}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}$

然后，我们通过代入我们的值来得到我们的解决方案 a=0, b=1

$\left [ (1)^{5}+\frac{1}3{(1)^{3}-\frac{1}{2}(1)^{2}} \right ]-\left [ (0)^{5}+\frac{1}{3}(0)^{3}-\frac{1}{2}(0)^{2} \right ]$

$\left ( 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right )-0=\frac{5}{6}$

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示例问题7:如何找到积分表达式

写出下面曲线下面积的表达式 x=1 来 x=4 ．

y=6x^2+4x+5

可能的答案:

$\int_{1}^{4}(6x^2+4x+5)$

$\int_{1}^{4}(3x^3+2x^2+5x)$

$\int_{1}^{4}(6x^2+4x+5)dx$

$\int_{1}^{4}(3x^3+2x^2+5x)dx$

正确答案:

$\int_{1}^{4}(6x^2+4x+5)dx$

解释：

简单地使用给定x值作为边界的积分表达式。

别忘了加上dx!

$\int_{1}^{4}(6x^2+4x+5)dx$

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例8:如何找到积分表达式

求区间内的定积分 $1\leq x \leq 2$ ．

$\int (2x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+7)dx$

可能的答案:

$-\frac{31}{2}$

$\frac{31}{2}$

$\frac{47}{3}$

$-\frac{47}{3}$

正确答案:

$\frac{47}{3}$

解释：

为了解决这个问题，我们必须记住:

$\int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a)$

在本例中，我们有:

$\int_{1}^{2}(2x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+7) dx$

我们的第一步是整合:

$\int (2x^3+\frac{1}{2}x^2+7)dx= \frac{1}{2}x^4+\frac{1}{6}x^3+7x$

然后，我们通过代入我们的值来得到我们的解决方案 a=1, b=2

$\left[\frac{1}{2}(2)^4+\frac{1}{6}(2)^3+7(2)\right]-\left[\frac{1}{2}(1)^4+\frac{1}{6}(1)^3+7(1)\right]$

$\left ( 8+\frac{4}{3} +14 \right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+7 \right)=\frac{47}{3}$

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问题9:如何找到积分表达式

求区间内的定积分 $4\leq x \leq 9$

$\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2-4\right)dx$

可能的答案:

$\frac{1169}{6}$

$\frac{-1169}{6}$

647

正确答案:

647

解释：

为了解决这个问题，我们必须记住:

$\int_{a}^{b}f(x)=F(b)-F(a)$

在本例中，我们有:

$\int_{4}^{9}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2-4\right)dx$

我们的第一步是整合:

$\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2-4\right)dx=2\sqrt{x}+x^{3}-4x$

然后，我们通过代入我们的值来得到我们的解决方案 a=4, b=9

$\left [ 2\sqrt{9}+(9)^{3}-4(9) \right ]-\left [ 2\sqrt{4}+(4)^{3}-4(4) \right ]$

(6+729-36)-(4+64-16)

699-52=647

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例子问题10:如何找到积分表达式

求不定积分。

$\int (5+4x)dx$

可能的答案:

4+c

5x+2x^2+c

8x^2+5x+c

4x^2+5x+c

正确答案:

5x+2x^2+c

解释：

我们被要求对函数积分。

要做到这一点，我们需要记住积分的幂次法则，

$\int (a+bx)dx=ax+\frac{bx^n+1}{n+1}+c$

使用这个规则，我们可以计算以下积分:

$\int (5+4x)dx = 5x+2x^2+c$

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